Melyek a k értékei, amelyekre az int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Válasz:

Lásd lentebb.

Magyarázat:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

és

# K ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # de

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # és

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # így

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

vagy

# {(K + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2K + 2 ^ 2 = 0):} #

majd végül

valós értékeket #k = {-2,2} #

összetett értékeket #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Válasz:

# k = + - 2 #

Magyarázat:

Szükségünk van:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Integrálunk:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 szín (fehér) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Feltéve, hogy #k az RR-ben (valójában vannak #6# gyökerek, #4# amelyek bonyolultak)

Most, a probléma kontextusától függően, meg lehet vitatni #k <2 # (azaz # K = -2 #) érvénytelen #k> = 2 # a belső „megfelelő”, így kizárva ezt a megoldást, de minden összefüggés nélkül ésszerű mindkét megoldást bevonni.

Ne feledje, hogy #k = + - 2 # bizonyíthatóan megoldást jelentenek anélkül, hogy ténylegesen integrálnának.

Először is, a meghatározott integrálok tulajdonsága, hogy:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

így azonnal létrehozhatunk # K = 2 # megoldás.

Másodszor, # X ^ 5 # egy páratlan funkció és a páratlan funkciók megfelelnek:

# f (-x) = f (x) #

és az eredetük körül rotációs szimmetriájuk van. mint ilyen, ha #f (X) # furcsa:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

így azonnal létrehozhatunk # K = -2 # megoldás.

Az integráció és az azt követő számítások azonban bizonyítják, hogy ezek az egyetlen megoldás!