Hogyan integrálná az int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx-t?

Válasz:

Ez az integrál nem létezik.

Magyarázat:

Mivel #ln x> 0 # az intervallumban # 1, e #, nekünk van

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

itt, hogy az integrál legyen

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Helyettes #ln x = u #, azután # dx / x = du # így

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Ez egy nem megfelelő integrál, mivel az integrand az alsó határon eltér. Ezt úgy definiáljuk, mint

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

ha ez létezik. Most

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

mivel ez a határértékben eltér #l -> 0 ^ + #, az integrál nem létezik.

Válasz:

# Pi / 2 #

Magyarázat:

Az integrál # Int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Először helyettesítse # U = ln (x) # és # "D" u = ("d" x) / x #.

Így van

#int_ (X = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Most cserélje ki # U = sin (v) # és # "D" u = cos (v) "d" v #.

Azután, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) "d" v = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" v # mivel # 1-sin ^ 2 (V) = cos ^ 2 (V) #.

Továbbra is van

# V _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #