Hogyan integrálható az int x x xxxxxx?

Válasz:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Magyarázat:

Először az identitást használhatjuk:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

amely megadja:

#int e ^ xsinxcosx x = 1 / 2int e ^ xsin (2x) x # x

Most már integrálást is használhatunk. A képlet:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) xx

megengedem #f (x) = sin (2x) # és #G '(x) = e ^ x / 2 #. A képlet alkalmazásával:

#int e ^ x / 2sin (2x) x = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x x x # x

Most ismét részlegesen alkalmazhatjuk az integrációt, ezúttal #f (x) = cos (2x) # és #G '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x xx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int (2x) e ^ x xx #

Most az egyenlőség mindkét oldalán integrálunk, így egyenletként megoldhatjuk. Először 2-szer adjuk hozzá a két oldal szerves részét:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Mivel az eredeti integrálban egy fele az együtthatónak akartuk, mindkét oldalt osztjuk #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = E ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) +, C #

Válasz:

# int e ^ x xxxx x = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

Magyarázat:

Keresünk:

# I = int x ^ xxxx x #

Melyik az azonosítót használja:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Írhatunk:

# I = 1/2 int x ^ x2x x # x

# I = 1/2 t

Ahol a kényelmet jelöljük:

# I_S = int t, és # I_C = int e ^ x cos2x x #

Most ismét részlegesen integrálunk.

enged # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

Ezután csatlakoztatva az IBP-képlethez:

# int (e ^ x) (cos2x) x = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) x # #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x x # x

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Most két párhuzamos egyenletünk van két ismeretlenben # # I_S. és # # I_C, így helyettesítjük a B a A -re:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

V.hová vezet:

# I = 1/2 t

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #