Hogyan integrálható az int x ^ lnx?

Válasz:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Magyarázat:

Kezdjük egy u-helyettesítéssel # U = ln (x) #. Ezután megosztjuk a # U # integrálni # U #:

# (Du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u

Most meg kell oldanunk #x# szempontjából # U #:

# U = ln (x) #

# X = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u = int e ^ (u ^ 2 + u)

Gondolhatod, hogy ez nem rendelkezik elemi anti-derivátummal, és igazad van. Ugyanakkor az űrlapot a képzeletbeli hibafunkcióhoz használhatjuk, #erfi (X) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) x # #

Ahhoz, hogy integrálódjunk ebbe a formába, csak egy négyzetváltozó lehet a # E #, ezért ki kell töltenünk a négyzetet:

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# U ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + K #

# K = -1/4 #

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int ^ ((u + 1/2) ^ 2)

Most bevezethetjük az u-helyettesítést # T = u + 1/2 #. A derivatív igazságos #1#, úgyhogy nem kell semmit különöznünk ahhoz, hogy integrálódjunk # T #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2 * ERFI (t) + a C #

Most visszavonhatjuk az összes helyettesítést, hogy:

#e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (ln (x) +1/2) +, C #

Hogyan integrálható az int x x xxxxxx?

Int e xxxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C Először a következő azonosítót használhatjuk: 2sinthetacostheta = sin2x, amely: int ^ xsinxcosx xx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx Most már integrálást is használhatunk. A képlet a következő: int (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx Az f (x) = bűn lesz ( 2x) és g '(x) = e ^ x / 2. A képlet alkalmazásával kapjuk: int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx Most már részlegesen alkalmazhatjuk az integrációt. , ezúttal f (x)

Hogyan integrálható az int [6x ^ 2 + 13x + 6] / [(x + 2) (x + 1) ^ 2] dx részleges frakciókkal?

4ln (abs (x + 2)) + 2ln (abs (x + 1)) + (x + 1) ^ - 1 + C Tehát először ezt írjuk: (6x ^ 2 + 13x + 6) / ((x +2) (x + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 Ezen kívül: (6x ^ 2 + 13x + 6 ) / ((x + 2) (X + 1) ^ 2) = A / (x + 2) + (B (x + 1) + C) / (X + 1) ^ 2 = (A (x + 1 ) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C)) / ((x + 2) (x + 1) ^ 2) 6x ^ 2 + 13x + 6 = A (x + 1) ^ 2+ (x + 2) (B (x + 1) + C) Az x = -2 használatával: 6 (-2) ^ 2 + 13 (-2) + 6 = A (-1) ^ 2 A = 4 6x ^ 2 + 13x + 6 = 4 (x + 1) ^ 2 + (x + 2) (B (x + 1) + C) Ezután az x = -1 használatával: 6 (-1) ^ 2 + 13 (-1)

Hogyan integrálja az int xsin-t (2x) részegység-módszerrel történő integrálással?

= 1 / 4sin (2x) - x / 2cos (2x) + C u (x) esetén v (x) int uv'dx = uv '- int u'vdx u (x) = x azt jelenti, hogy u' (x) = 1 v '(x) = sin (2x) v (x) = -1 / 2cos (2x) intxszint (2x) dx = -x / 2cos (2x) + 1 / 2intcos (2x) dx = -x / 2cos (2x) + 1 / 4sin (2x) + C