Hogyan bizonyítja az arcsin x + arccos x = pi / 2?

Válasz:

az ábrán látható módon

Magyarázat:

enged

# Arcsinx = théta #

azután

# X = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => Arccosx = pi / 2-téta = pi / 2-arcsinx #

# => Arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => Arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Válasz:

A kijelentés igaz, ha az inverz trigger funkciók a fő értékekre utalnak, de ehhez nagyobb figyelmet kell szentelni, mint a másik válasz.

Ha az inverz trigger funkciókat többváltozósnak tekintjük, például egy finomabb eredményt kapunk

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # de #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Meg kell vonni, hogy megkapjuk # Pi / 2 #.

Magyarázat:

Ez sokkal nehezebb, mint amilyennek látszik. A másik válasz nem fizeti meg a megfelelő tiszteletet.

Az általános egyezmény a kis betű használata #arccos (X) # és #arcsin (X) # mint többértékű kifejezések, amelyek mindegyike az összes értéket jelöli, amelyeknek kosinusa vagy szinája egy adott értékkel rendelkezik #x#.

Ezek összege valójában minden lehetséges kombináció, és ezek nem mindig adnának # Pi / 2 # Még mindig nem adják meg az egyik cermiális szöget # / 2 + 2p k quad # egész szám # K #, ahogy most megmutatjuk.

Lássuk, hogyan működik először a többértékű inverz trigger funkciók. Emlékezz általában # cos x = cos a # megoldása van # x = pm a + 2pi k quad # egész szám # K #.

# c = arccos x # tényleg azt jelenti

#x = cos c #

#s = arcsin x # tényleg azt jelenti

#x = sin s #

#y = s + c #

#x# egy valódi paraméter szerepét játszik le, amiből kiindul #-1# nak nek #1#. Meg akarjuk oldani # Y #, keresse meg az összes lehetséges értéket # Y # amelyeknek van egy #x, s # és # C # ez az egyidejű egyenletet teszi lehetővé #x = cos c, x = sin s, y = s + c # igaz.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

A fenti általános megoldást a kozinusok egyenlőségére használjuk.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # egész szám # K #

# s c = pi / 2 - 2pi k #

Tehát a sokkal több ködös eredményt kapjuk, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(A bejelentkezés megengedhető # K. #)

Most összpontosítsunk a fő értékekre, amelyeket nagybetűvel írok:

Előadás #text {Arc} szöveg {sin} (x) + szöveg {Arc} szöveg {cos} (x) = pi / 2 #

A nyilatkozat valóban igaz a szokásos módon meghatározott fő értékekre.

Az összeg csak az (addig, amíg elég mélyre nem válik a komplex számokra) # 1 le x le 1 # mert az érvényes szinuszok és kosinok ebben a tartományban vannak.

Megnézzük az egyenérték mindkét oldalát

# szöveg {Arc} szöveg {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - szöveg {Arc} szöveg {sin} (x) #

Mindkét oldal koszinuszát fogjuk venni.

#cos (szöveg {Arc} szöveg {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - szöveg {Arc} szöveg {sin} (x)) = sin (szöveg {Arc} szöveg {sin} (x)) = x #

Tehát anélkül, hogy aggódnánk a jelekről vagy a fő értékekről, biztosak vagyunk

#cos (szöveg {Arc} szöveg {cos} (x)) = cos (pi / 2 - szöveg {Arc} szöveg {sin} (x)) #

A trükkös rész, a tiszteletet érdemlő rész a következő lépés:

#text {Arc} szöveg {cos} (x) = pi / 2 - szöveg {Arc} szöveg {sin} (x) quad # MÉG NEM BIZTOS

Óvatosan kell futnunk. Vegyük a pozitív és negatív #x# külön.

Első # 0 le x le 1 #. Ez azt jelenti, hogy a két inverz trigger funkció fő értéke az első negyedben van #0# és # Pi / 2 # Az első kvadránsra korlátozva az egyenlő kozinusok egyenlő szöget jelentenek, így arra következtetünk, hogy #x ge 0, #

#text {Arc} szöveg {cos} (x) = pi / 2 - szöveg {Arc} szöveg {sin} (x) quad #

Most # -1 le x <0. # Az inverz jel fő értéke a negyedik negyedben és a #x <0 # általában meghatározzuk a tartomány fő értékét

# - p / 2 le szöveg {Arc} szöveg {sin} (x) <0 #

# / 2 ge - szöveg {Arc} szöveg {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - szöveg {Arc} szöveg {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - szöveg {Arc} szöveg {sin} (x) le pi #

A negatív inverz koszinusz fő értéke a második kvadráns, # / <<szöveg {Arc} szöveg {cos} (x) le pi #

Tehát a második negyedben két szögünk van, amelynek kozinusa egyenlő, és a szögek megegyezhetnek. mert #x <0 #, #text {Arc} szöveg {cos} (x) = pi / 2 - szöveg {Arc} szöveg {sin} (x) quad #

Akárhogy is, # szöveg {Arc} szöveg {sin} (x) + szöveg {Arc} szöveg {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #