Hogyan bizonyítható, hogy a sorozat konvergens?

Válasz:

A Közvetlen összehasonlító teszt segítségével konvertálódik.

Magyarázat:

Használhatjuk a Közvetlen összehasonlító tesztet, amennyire csak van

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / K) / (9k ^ 2) #, IE, a sorozat egyből indul.

A közvetlen összehasonlító teszt használatához ezt be kell bizonyítanunk # A_k = cos (1 / K) / (9k ^ 2) # pozitív # 1, oo) #.

Először is vegye figyelembe, hogy az intervallum # 1, oo, cos (1 / k) # pozitív. A #x # # Cosx az első negyedben van (és így pozitív). Nos, mert #k> = 1, 1 / k így, #cos (1 / k) # valóban pozitív.

Továbbá mondhatjuk #cos (1 / K) <= 1 #, as #lim_ (k-> oo) cos (1 / K) = cos (0) = 1 #.

Ezután definiálhatunk egy új szekvenciát

# B_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # mindenkinek # K. #

Jól, #sum_ (k = 1) ^ OO1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ OO1 / K ^ 2 #

Tudjuk, hogy ez a konvergencia a # P #soros teszt, a formában van # Sum1 / k ^ p # hol # P = 2> 1 #.

Ezután, mivel a nagyobb sorozat konvergál, a kisebb sorozatnak is kell lennie.

Válasz:

A közvetlen összehasonlító vizsgálatsal közelít (lásd alább a részleteket).

Magyarázat:

Felismerjük, hogy a kosin tartománya -1,1. Nézze meg a grafikonot #cos (1 / x) #:

grafikon {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Mint látható, a maximális Ez az érték 1. lesz. Mivel most csak a konvergenciát próbáljuk bizonyítani, állítsuk 1-re a számlálót, így:

# Sum1 / (9k ^ 2) #

Ez most nagyon egyszerű közvetlen összehasonlítási teszt problémává válik. Emlékezzünk arra, hogy mi a közvetlen összehasonlító teszt:

Tekintsünk egy tetszőleges sorozatot # # A_n (nem tudjuk, hogy konvergens / diverges), és egy sorozat, amelyre a konvergenciát / eltérést ismerjük, # # B_n:

Ha #b_n> a_n # és # # B_n konvergens # # A_n is konvergál.

Ha #b_n <a_n # és # # B_n akkor eltér # # A_n szintén eltér.

Összehasonlíthatjuk ezt a funkciót #b_n = 1 / k ^ 2 #. Ezt azért tehetjük, mert tudjuk, hogy konvergens (a p-teszt miatt).

Szóval, mivel # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, és # 1 / k ^ 2 # konvergens, azt mondhatjuk, hogy a sorozat konvergál

De várjunk, csak bebizonyítottuk, hogy ez a sorozat konvergál, ha a számláló = 1. Mi a helyzet az összes többi értékkel #cos (1 / k) # lehetne? Ne feledd, hogy 1 az maximális érték, amelyet a számláló megtehet. Tehát, mivel bebizonyítottuk, hogy ez konvergens, közvetetten bizonyítottuk, hogy ez a sorozat a számláló bármely értékéhez közeledett.

Remélem, hogy segített:)