A sorozat a__ (n = 0) ^ vég / 1 ((2n + 1)!) Teljesen konvergens, feltételesen konvergens vagy eltér?

Válasz:

# "Hasonlítsa össze" összeggel {{n = 0} ^ oo 1 / (n!) = Exp (1) = e = 2,7182818 … #

Magyarázat:

# "Minden kifejezés egyenlő vagy kisebb, mint a" #

#sum_ {n = 0} ^ oo 1 / (n!) = exp (1) = e = 2,7182818 … #

# "Minden feltétel pozitív, így a sorozat S értéke" #

# 0 <S <e = 2,7182818 …. #

# "Tehát a sorozat teljesen konvergens." #

Hogyan találom meg a sorozat konvergenciáját vagy eltérését? összege 1-től végtelenig 1 / n ^ lnn

Konvergálja Tekintsük a sorozatszámot_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, ahol p> 1. A p-teszttel ez a sorozat konvergál. Most 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p minden elég nagy n értékig, amíg p véges érték. Így a közvetlen összehasonlító teszt segítségével az sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n konvergál. Valójában az érték körülbelül 2.2381813.

Hogyan találja meg az f (t) = (e ^ t - 1) / t Maclaurin sorozat első három feltételeit az e ^ x Maclaurin sorozat használatával?

Tudjuk, hogy az e ^ x Maclaurin sorozat összege (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) Ezt a sorozatot az f (x) = sum_ (n = 0) ^ Maclaurin kiterjesztésével is levezethetjük. oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) és az a tény, hogy az e ^ x összes származéka még mindig e ^ x és e ^ 0 = 1. Most csak a fenti sorozatot (e ^ x-1) / x = (sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x = (összeg_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X = összeg_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) Ha azt szeretné, hogy az index i = 0-nál induljon, egyszerűen helyette

A sorozat feltétlenül konvergens, feltételesen konvergens vagy eltérő? rarr 4-1 + 1 / 4-1 / 16 + 1/64 ...

Teljesen összehangolódik. Használja az abszolút konvergencia tesztjét. Ha a kifejezések abszolút értékét vesszük, akkor a 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... szériát használjuk. Így konvergál. Mivel mindkettő | a_n | konvergens a_n teljesen konvergál. Remélhetőleg ez segít!