Hogyan találja meg az f (t) = (e ^ t - 1) / t Maclaurin sorozat első három feltételeit az e ^ x Maclaurin sorozat használatával?

Hogyan találja meg az f (t) = (e ^ t - 1) / t Maclaurin sorozat első három feltételeit az e ^ x Maclaurin sorozat használatával?
Anonim

Tudjuk, hogy a Maclaurin sorozat # E ^ x # jelentése

#sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) #

Ezt a sorozatot a Maclaurin bővítésével is levezethetjük #f (x) = sum_ (n = 0) ^ oof ^ ((n)) (0) x ^ n / (n!) # és az a tény, hogy a # E ^ x # még mindig # E ^ x # és # E ^ 0 = 1 #.

Most cserélje ki a fenti sorozatot

# (E ^ x-1) / x #

# = (Sum_ (n = 0) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (1 + sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!)) - 1) / x #

# = (Sum_ (n = 1) ^ oo (x ^ n / (n!))) / X #

# = Sum_ (n = 1) ^ oox ^ (n-1) / (n!) #

Ha azt szeretné, hogy az index elinduljon # I = 0 #, egyszerűen helyettesítsd # N = i + 1 #:

# = Sum_ (i = 0) ^ oox ^ i / ((i + 1)!) #

Most csak értékelje az első három kifejezést

# ~~ 1 + x / 2 + x ^ 2/6 #