Válasz:
# -Xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
Magyarázat:
Kezdjük az integrálok összegszabályának használatával, és két külön integráldá váljunk:
# Intxe ^ (2-x) dx + int3x ^ 2DX #
Az első ilyen mini-integrál megoldása az integráció segítségével történik:
enged # U = x -> (du) / dx = 1-> du = dx #
# Dv = e ^ (2-x) DX> intdv = porcelán ^ (2-x) DX> v = -e ^ (2-x) #
Most használja az integrációt alkatrész-formulával # Intudv = UV-intvdu #, nekünk van:
# Intxe ^ (2-x) dx = (x) (- e ^ (2-x)) - int (-e ^ (2-x)) dx #
# = - XE ^ (2-x) + porcelán ^ (2-x) dx #
# = - XE ^ (2-x) -e ^ (2-x) #
Ezek közül a második a fordított teljesítmény szabály, amely kimondja:
# Intx ^ NDX = (x ^ (n + 1)) / (n + 1) #
Így # Int3x ^ 2DX = 3 ((x ^ (2 + 1)) / (2 + 1)) = 3 (x ^ 3/3) = x ^ 3 #
Ebből adódóan, # Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2DX = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + C # (ne felejtse el hozzáadni az integráció konstansát!)
Megadjuk a kezdeti feltételt #f (0) = 1 #, így:
# 1 = - (0) e ^ (2- (0)) - e ^ (2- (0)) + (0) ^ 3 + C #
# 1 = -e ^ 2 + C #
# C = 1 + e ^ 2 #
A végső helyettesítés megszerzésével végső megoldást kapunk:
# Intxe ^ (2-x) + 3x ^ 2DX = -xe ^ (2-x) -e ^ (2-x) + x ^ 3 + 1 + e ^ 2 #
