Kérdés # ecc3a

Válasz:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Magyarázat:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) +, C #

Válasz:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Magyarázat:

Valahányszor van egy kvadratikus a nevezőben és nem #x#a számlálóban szeretnénk az integrálot a következő formában kapni:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Esetünkben ezt a négyzet kitöltésével, majd helyettesítéssel tudjuk elvégezni.

# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + K #

# K = 3/4-#

# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4-#

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) x #

Olyan u-helyettesítést szeretnénk bevezetni, hogy:

# (X + 1/2) ^ 2 = 3 / 4U ^ 2 #

Meg tudjuk oldani #x# hogy kitaláljuk, hogy ez a helyettesítés legyen:

# X + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2U-1/2 #

Az integráláshoz # U #, megszorozzuk a #x# tekintetében # U #:

# Dx / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = #

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) +, C #

Most megoldhatjuk # U # szempontjából #x# helyettesít

# U = (2x + 1) / sqrt3 #

Ez azt jelenti, hogy végső válaszunk:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) +, C #