Melyek a gyakori hibák, amelyeket a diákok szokásos formában ellipszisekkel készítenek?

Az ellipszis standard formája (ahogy azt tanítom) úgy néz ki, mint: # (X-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) a központ.

az "a" távolság = milyen messze jobbra / balra mozog a központtól a vízszintes végpontok megtalálásához.

a "b" távolság = mennyire felfelé / lefelé mozog a központtól a függőleges végpontok megtalálásához.

Úgy gondolom, hogy a diákok gyakran tévesen gondolják ezt # A ^ 2 # mennyire távolodik el a központtól a végpontok megkereséséhez. Néha ez nagyon nagy távolság lenne az utazáshoz!

Azt is gondolom, hogy a diákok néha tévesen mozognak felfelé / lefelé a jobb / bal oldal helyett, amikor ezeket a képleteket alkalmazzák a problémáikra.

Itt van egy példa a következőkről:

# (X-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

A központ (1, -4). A vízszintes végpontok (3, -4) és (-1, -4) eléréséhez jobbra és balra kell mozgatni az "a" = 2 egységet. (lásd a képet)

A függőleges végpontok (1, -1) és (1, -7) eléréséhez a "b" = 3 egységet felfelé és lefelé kell mozgatni. (lásd a képet)

Mivel a <b, a fő tengely függőleges irányban lesz.

Ha a> b, a fő tengely vízszintes irányba megy!

Ha más információt szeretne megtudni az ellipszisekről, kérdezzen egy másik kérdést!

(Zavarodottság, hogy # A # és # B # a nagyobb / kisebb sugarakat, vagy a #x#- & # Y #-radii)

Emlékezzünk vissza, hogy az ellipszis szabványos formája középpontjában az eredet jelentése

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Néhányan azonban már a fenti képlettel foglalkoznak. Bizonyos iskolák ezt tartják # A # mindig nagyobbnak kell lennie # B # és így a fő sugár hosszát képviseli (még akkor is, ha a fő sugár függőleges irányban van, így lehetővé téve # Y ^ 2 / a ^ 2 # ilyen esetben), míg mások úgy vélik, hogy mindig az #x#-radius (még akkor is, ha a #x#-radius a kisebb sugár).

Ugyanez igaz # B #, bár fordítva. (vagyis néhányan azt hiszik # B # mindig a legkisebb sugárnak kell lennie, és mások úgy vélik, hogy mindig az # Y #-sugár).

Győződjön meg róla, hogy tudja, hogy melyik módszert használja az oktatója (vagy a használt program). Ha nincs erős preferencia, akkor egyszerűen döntsd el magad, de összhangban legyen az Ön döntésével. Az elme félúton történő megváltoztatása a dolgok tisztázatlanságát teszi lehetővé, és félúton megváltoztatja az elmédet egy egyetlenen probléma csak hibákhoz vezet.

(Sugár / tengely zavar)

Az ellipszisek hibáinak többsége úgy tűnik, hogy ez a zavart okozza, hogy melyik sugár nagy és kisebb. Más lehetséges hibák is előfordulhatnak, ha a fő sugárot a fő tengellyel összekeverjük (vagy a kisebb sugarat a kisebb tengellyel). A fő (vagy kisebb) tengely kétszerese a fő (vagy kisebb) sugárnak, mivel lényegében a fő (vagy kisebb) átmérője. Attól függően, hogy ez a zavar fordul elő, ez súlyos hibákat eredményezhet az ellipszisnél.

(Sugár / sugár négyzetes zavar)

Hasonló hiba fordul elő, amikor a diákok elfelejtik, hogy a nevezők (# a ^ 2, b ^ 2 #) a sugár négyzetei, és nem maguk a sugarak. Nem szokatlan, hogy olyan diákot lát, akinek problémája van # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # rajzoljon egy ellipszet #x#-9 # Y #A 4. lépés ezenkívül előfordulhat a fenti hibával együtt (az átmérő sugárának megzavarásával), ami olyan eredményekhez vezet, mint a fenti egyenletű diák, aki egy 9-es nagy átmérőjű ellipszet (és így a 4,5 fősugarat) rajzol, a helyes 6 fő átmérő helyett (és a 3. fő sugár).

(Hyperbola és ellipszis zavar) FIGYELEM: A válasz meglehetősen hosszú

Egy másik viszonylag gyakori hiba akkor fordul elő, ha az ember elfelejti az ellipszis képletét. Pontosabban, ezek közül a leggyakoribb hibák tűnnek fel, amikor az ellipszisek képletét összekeverik a hiperbolákéval (ami a visszahívás, az # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # vagy # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # azok számára, akik középpontjában az eredet áll, és amelyekre a fentiekben felsorolt tengelycímkézési szabályok vonatkoznak. Ehhez emlékszik az ellipszisek és a hiperbolák mint kúpos metszetek meghatározására.

Konkrétan emlékezzünk arra, hogy egy ellipszis a két fókuszhoz kapcsolódó pontok helye # f_1 & f_2 # a fő tengely mentén, úgy, hogy tetszőleges pontra # P # a helyszínen, a távolság # P # nak nek # # F_1 (jelölt # # D_1) plusz a távolság # P # nak nek # # F_2 (jelölt # # D_2) a nagyobb sugár kétszerese (azaz ha # A # a fő sugara, # d_1 + d_2 = 2a #). Továbbá, a távolság a központtól az egyik fókuszig (néha hívják) fókusztávolság vagy lineáris excentricitás), feltételezve # A # a fő sugár, egyenlő #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Ezzel ellentétben a hiperbola a két fókuszhoz kapcsolódó pontok olyan helye, amely egy pontra # P # a lókuszon, az abszolút értéke különbség a pont távolsága az első fókuszig, és a pont távolsága a második fókuszig kétszerese a fő sugárnak (azaz # A # fő sugár, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Továbbá, a hiperbola közepétől a fókusz bármelyikéhez való távolság (ismételten lineáris excentricitásnak, és még mindig feltételezve, hogy # A # nagyobb sugár) egyenlő #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

A kúpos metszetek meghatározásához a teljes különcség # E # egy szakasz határozza meg, hogy ez egy kör (# E = 0 #), ellipszis (# 0 <e <1 #), parabola (# E = 1 #) vagy hiperbola (#e> 1 #). Az ellipszisek és a hiperbolák esetében az excentricitás kiszámítható a lineáris excentricitás és a fő sugár hosszúságának aránya; így egy ellipszis esetén ez lesz #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (és így szükségszerűen kevesebb mint 1), és egy hiperbola számára #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (és így szükségszerűen nagyobb, mint 1).