Ha lehetséges, keressen egy f függvényt, hogy grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Válasz:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Magyarázat:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Most vegye" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Ezután van egy és ugyanaz, ami megfelel a feltételeknek." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Válasz:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Magyarázat:

A kérdésben rossz a jelölés, mivel a del operátor (vagy a gradiens operátor) egy vektor differenciált operátor, Egy funkciót keresünk #f (x, y) # oly módon, hogy:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Hol #BB (grad) # a gradiens operátor:

# "grad" f = bb (grad) f = (részleges f) / (részleges x) bb (ul kalap i) + (részleges f) / (részleges x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

Ebből követeljük, hogy:

# f_x = (részleges f) / (részleges x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 t ….. A

# f_y = (részleges f) / (részleges y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 t ….. B

Ha integráljuk az A wrt-t #x#, a kezelés alatt # Y # mint állandó, akkor kapunk:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 x #

# x = 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Ha integráljuk a B wrt-t # Y #, a kezelés alatt #x# mint állandó, akkor kapunk:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5

# 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Hol #u (y) # önkényes funkciója # Y # egyedül, és #v (X) # önkényes funkciója #x# egyedül.

Nyilvánvalóan ezeknek a funkcióknak azonosnak kell lenniük, így:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

És így választjuk #v (x) = x ^ 4 # és #u (y) = y ^ 6 #, amely megoldást nyújt számunkra:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

A megoldást a részleges származékok kiszámításával könnyen megerősíthetjük:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED