Milyen jelentősége van a részleges származéknak? Adjon példát, és segítsen nekem megérteni röviden.

Válasz:

Lásd lentebb.

Magyarázat:

Remélem segít.

A részleges származék lényegében a teljes variációhoz kapcsolódik.

Tegyük fel, hogy van egy funkció #f (x, y) # és szeretnénk tudni, hogy mennyire változik, amikor minden változóhoz növekszik.

Ötletek rögzítése, készítése #f (x, y) = k x y # tudni akarjuk, hogy mennyire van

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

A mi példánkban van

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + ky dy + k dx dy #

és akkor

#df (x, y) = k x y + k x dx + ky dy + k dx dy-k x y = k x dx + ky dy + k dx dy #

kiválasztása #dx, dy # akkor önkényesen kicsi #dx dy kb 0 # és akkor

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

de általában

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

most készül #dx, dy # önkényesen kicsi vagyunk

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

így egy adott függvény teljes variációját kiszámíthatjuk a részleges származékok kiszámításával #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # és összetétel

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Itt a mennyiségek #f_ (x_i) # az úgynevezett részleges származékok, és lehetnek képviselve is

# (részleges f) / (részleges x_i) #

Példánkban

#f_x = (részleges f) / (részleges x) = k x # és

#f_y = (részleges f) / (részleges y) = k y #

JEGYZET

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dinamizmusával> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Válasz:

Lásd lentebb.

Magyarázat:

A fenti Cesareo válaszának kiegészítéséhez kevésbé matematikailag szigorú bevezető meghatározást fogok adni.

A részleges származtatás, lazán szólva elmondja nekünk, hogy egy többváltozós függvény változik ha más változókat tartunk állandónak. Tegyük fel például, hogy megadunk

#U (A, t) = A ^ 2t #

Hol # U # egy adott termék hasznossági (boldogság) funkciója, # A # a termék mennyisége, és # T # az az idő, amikor a terméket használják.

Tegyük fel, hogy a terméket gyártó vállalat szeretné tudni, hogy mennyi hasznossággal tudnak kijutni belőle, ha a termék élettartamát 1 egységgel növelik. A részleges származék meg fogja mondani a vállalatnak ezt az értéket.

A részleges származékot általában kisbetűs görög betű delta jelöli (#részleges#), de vannak más jelölések is. Használunk #részleges# átmenetileg.

Ha megpróbáljuk megtalálni, hogy mennyi idő múlva változik a termék 1 egységnyi növelésével, akkor kiszámítjuk a hasznosság részleges származékát az idő függvényében:

# (PartialU) / (partialt) #

A PD kiszámítása: más változókat állandónak tartunk. Ebben az esetben kezeljük # A ^ 2 #, a másik változó, mintha egy szám lenne. Emlékezzünk be a bevezető számításból, hogy egy állandó változó deriváltja csak egy állandó. Ugyanaz az ötlet itt: a (részleges) származéka # A ^ 2 #, állandó, idők # T #, a változó csak az állandó:

# (PartialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Így a termék felhasználásakor 1 egység nő # A ^ 2 # több hasznosság. Más szóval, a termék kielégítőbb, ha gyakrabban használható.

A részleges derivatívákról sok mindent meg kell mondani - sőt, a teljes alapképzés és a posztgraduális kurzusok csak néhány, a részleges származékokat tartalmazó egyenlet megoldására fordíthatók, de az alapötlet az, hogy a részleges származék azt mondja nekünk, hogy mennyi változó változások, amikor a többi is változatlan marad.