Hogyan egyszerűsíthetem (sin ^ 4x-2sin ^ 2x + 1) cosx?

Válasz:

# Cos ^ 5x #

Magyarázat:

Ez a fajta probléma valójában nem olyan rossz, ha felismeri, hogy ez egy kis algebra!

Először is, átírom az adott kifejezést a következő lépések könnyebb megértéséhez. Tudjuk # Sin ^ 2x # csak egy egyszerűbb módja az írásra # (sin x) ^ 2 #. Hasonlóképpen, # sin ^ 4x = (sin x) ^ 4 #.

Most átírhatjuk az eredeti kifejezést.

# (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x #

# = (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

Most itt van az algebra rész. enged #sin x = a #. Tudunk írni # (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 # mint

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 #

Ez ismerősnek tűnik? Ezt csak meg kell tennünk! Ez egy tökéletes négyzet alakú trinomális. Mivel # a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2 #, mondhatjuk

# a ^ 4 - 2 a ^ 2 + 1 = (a ^ 2 - 1) ^ 2 #

Most térj vissza az eredeti helyzethez. Re-helyettesítő #sin x # mert # A #.

# (sin x) ^ 4 - 2 (sin x) ^ 2 + 1 cos x #

# = (sin x) ^ 2 -1 ^ 2 cos x #

# = (szín (kék) (sin ^ 2x - 1)) ^ 2 cos x #

Most egy trigonometrikus identitást használhatunk, hogy egyszerűsítsük a kifejezéseket kék színben. Az identitás átrendezése # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #, kapunk #color (kék) (sin ^ 2 x -1 = -cos ^ 2x) #.

# = (szín (kék) (- cos ^ 2x)) ^ 2 cos x #

Ezt követően a negatív jelek pozitívvá válnak.

# = (cos ^ 4x) cos x #

# = Cos ^ 5x #

És így, # (sin ^ 4 x - 2 sin ^ 2 x +1) cos x = cos ^ 5x #.