Bizonyítsuk be: sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / abs (sinx)?

Válasz:

Alább bizonyíték

konjugátumok és trigonometrikus változatok felhasználásával.

Magyarázat:

1. rész

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) #

#COLOR (fehér) ("XXX") = sqrt (1-cosx) / sqrt (1 + cosx) #

#color (fehér) ("XXX") = sqrt ((1-cosx)) / sqrt (1 + cosx) * sqrt (1-cosx) / sqrt (1-cosx) #

#COLOR (fehér) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

2. rész

Hasonlóképpen

#sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) #

#COLOR (fehér) ("XXX") = (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

3. rész: A kifejezések kombinálása

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx) #

#COLOR (fehér) ("XXX") = (1-cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) + (1 + cosx) / sqrt (1-cos ^ 2x) #

#COLOR (fehér) ("XXX") = 2 / sqrt (1-cos ^ 2x) #

#COLOR (fehér) ("XXXXXX") #és azóta # Sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (a pythagorai elmélet alapján)

#COLOR (fehér) ("XXXXXXXXX") sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

#COLOR (fehér) ("XXXXXXXXX") sqrt (1-cos ^ 2x) = abs (sinx) #

#sqrt ((1-cosx) / (1 + cosx)) + sqrt ((1 + cosx) / (1-cosx)) = 2 / sqrt (1-cos ^ 2x) = 2 / ABS (sinx) #

Bizonyítsuk be, hogy sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

A magyarázat Egy normál koordináta síkon koordináta, mint (1,2) és (3,4), és a hasonló dolgok vannak. Ezeknek a koordinátáknak a sugarait és szögeit tekintve újra feltárhatjuk.Tehát, ha van egy pontunk (a, b), ami azt jelenti, hogy az egységeket jobbra, b egységet és sqrt-t (a ^ 2 + b ^ 2) értünk el, mint az eredet és a pont (a, b) közötti távolságot. Az sqrt-t (a ^ 2 + b ^ 2) = r hívom. Tehát újra ^ arctan (b / a) Most, hogy befejezzük ezt a bizonyítást, emlékezz&#

Bizonyítsuk be, hogy: (a + b) / 2 = sqrt (a * b) Ha a> = 0 és b> = 0?

(a + b) / 2 szín (piros) (> =) sqrt (ab) "" az alábbi ábrán látható: Megjegyzés: (a-b) ^ 2> = 0 "" az a, b. A szorzásból ez lesz: a ^ 2-2ab + b ^ 2> = 0 Mindkét oldalra 4ab hozzáadásával kapja: a ^ 2 + 2ab + b ^ 2> = 4ab Faktor a bal oldalt, hogy: (a + b ) ^ 2> = 4ab Mivel a, b> = 0, mindkét oldal fő négyzetgyökét megkereshetjük: a + b> = 2sqrt (ab) Mindkét oldalt két részre osztjuk, hogy: (a + b) / 2 > = sqrt (ab) Ne feledje, hogy ha a! = b akkor (a + b) / 2> sqrt (ab), az

Bizonyítsuk be, hogy az sqrt szám (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) nem racionális az n-nél nagyobb természetes szám esetén, ha 1-nél nagyobb?

Lásd a magyarázatot ...Tegyük fel, hogy az sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) racionális Ezután négyzetének racionálisnak kell lennie, azaz 1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n)), és így van : sqrt (2 + sqrt (3 + ... + sqrt (n))) Többszöri négyzetből és kivonásból kiderül, hogy a következőeknek racionálisnak kell lenniük: {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), ( sqrt (n)):} Ezért n = k ^ 2 pozitív k egész számra> 1 és: sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) Ne feledje, hogy: k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k +