Bizonyítsuk be, hogy sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Válasz:

A Magyarázat

Magyarázat:

Normál koordináta síkon koordináta, mint például az (1,2) és (3,4), és a hasonló dolgok. Ezeknek a koordinátáknak a sugarait és szögeit tekintve újra feltárhatjuk. Tehát, ha van egy pontunk (a, b), akkor azt jelenti, hogy jobbra megyünk, b egységek fel és #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # az eredet és a pont közötti távolság (a, b). hívni fogok #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Szóval van # Újra ^ arctan (b / a) #

Most, hogy befejezzük ezt a bizonyítást, emlékezzünk egy képletre.

# e ^ (itheta) = cos (teta) + izin (theta) #

Az ívgörbék funkciója egy szög, amely szintén teeta.

Tehát a következő egyenletünk van:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Most egy jobb háromszög rajzolása.

A (b / a) arctan azt mondja, hogy b a másik oldal, a pedig a szomszédos oldal. Tehát, ha szeretném az arctan cos (b / a) -ját, akkor a Pythagorean-tételt használjuk a hipotenusus megtalálásához. A hypotenuse #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Tehát a cos (arctan (b / a)) = a hypotenuse = = mellett # A / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Erről a legjobb az a tény, hogy ugyanez az elv érvényes a szinuszra. Tehát a bűn (arctan (b / a)) = ellentétes a hypotenuse = = felett # B / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Tehát most újra kifejezhetjük válaszunkat: #r * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (BI / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

De emlékezz #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # így most: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. Az r visszavonása, és a következőek maradnak: # A + bi #

Ebből adódóan, # (Újra ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #