Bizonyítsuk be, hogy az sqrt szám (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) nem racionális az n-nél nagyobb természetes szám esetén, ha 1-nél nagyobb?

Válasz:

Lásd a magyarázatot …

Magyarázat:

Tegyük fel:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # racionális

Ezután a négyzetnek racionálisnak kell lennie, azaz:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

és így így van:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Többszöri négyzetből és kivonásból kiderül, hogy a következőeknek ésszerűnek kell lenniük:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Ennélfogva # N = k ^ 2 # pozitív egész számra #k> 1 # és:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Vegye figyelembe, hogy:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Ennélfogva # K ^ 2 + k-1 # nem egész szám négyszöge #sqrt (k ^ 2 + k-1) # irracionális, ellentmond az állításunknak #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # racionális.

Válasz:

Lásd lentebb.

Magyarázat:

Feltételezve

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # val vel # P / q # nem csökkenthető

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdot - (n-1)) = P / Q #

ami abszurd, mert ennek az eredménynek megfelelően a pozitív egész szám bármely négyzetgyöke racionális.

Olyan a, b, c, dinRR, hogy ab = 2 (c + d) .Hogyan bizonyítsuk, hogy az x ^ 2 + ax + c = 0 egyenletek közül legalább az egyik; x ^ 2 + bx + d = 0 kettős gyökerű?

Az állítás hamis. Tekintsük a két kvadratikus egyenletet: x ^ 2 + ax + c = x ^ 2-5x + 6 = (x-2) (x-3) = 0 és x ^ 2 + bx + d = x ^ 2-2x-1 = (x-1-sqrt (2)) (x-1 + sqrt (2)) = 0 Ezután: ab = (-5) (- 2) = 10 = 2 (6-1) = 2 (c + d ) Mindkét egyenletnek különböző valódi gyökerei vannak, és: ab = 2 (c + d) Tehát az állítás hamis.

X, y, t inRR-ben van, hogy x + y + t = 2, xy + yt + xt = 1.Hogyan bizonyítsuk, hogy x, y, t a [0,4 / 3] -nál?

Lásd lentebb. Fókuszálás a t-re ((min), (max)) t g_1 (x, y, t) = x + y + t-2 = 0 és g_2 (x, y, t) = xy + yt + xt- 1 = 0 Az L (x, y, t, lambda_1, lambda_2) lagrangianformáció = t + lambda_1 g_1 (x, y, t) + lambda_2 g_2 (x, y, t) A helyhez kötött feltételek grad L = 0 vagy { (lambda_1 + lambda_2 (t + y) = 0), (lambda_1 + lambda_2 (t + x) = 0), (1 + lambda_1 + lambda_2 (x + y) = 0), (t + x + y = 2) , (tx + ty + xy = 1):} Kapunk megoldást ((x, y, t, lambda_1, lambda_2), (1,1,0,1, -1), (1 / 3,1 / 3, 4/3, -5 / 3,1)), így láthatjuk, hogy a [0,4 / 3] módban ezt

Bizonyítsuk be, hogy [{1 / (1 + p + q-¹)} + {1 / (1 + q + r-¹)} + {1 / (1 + r + p-¹)}] = 1, Ha pqr = 1. itt (-¹) azt jelenti, hogy emeljük a hatalomra mínusz 1. Tudna segíteni nekem?

Lásd alább. @ Nimo N válaszolt: „Várja, hogy sok papírt és ceruza-ólmot használhat, ami esetleg jelentős kopást okozhat egy radíron is ...........”. lent. Az elme előkészítése a válasz előtt: Let, x = 1 / (1 + p + q ^ -1), y = 1 / (1 + q + r ^ -1), andz = 1 / (1 + r + p ^ - 1) Most x = 1 / (1 + p + (1 / q)) = q / (q + pq + 1) = q / szín (kék) ((pq + q + 1)) Itt az x nevező színe (kék) ((PQ + q + 1)). Ugyanezt a nevezőt kapjuk az y és z számára. Ehhez a színt (piros) (r) a színből (piros) (pqr = 1) kell megadnu