Bizonyítsuk be, hogy az sqrt szám (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) nem racionális az n-nél nagyobb természetes szám esetén, ha 1-nél nagyobb?

Válasz:

Lásd a magyarázatot …

Magyarázat:

Tegyük fel:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # racionális

Ezután a négyzetnek racionálisnak kell lennie, azaz:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

és így így van:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Többszöri négyzetből és kivonásból kiderül, hogy a következőeknek ésszerűnek kell lenniük:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Ennélfogva # N = k ^ 2 # pozitív egész számra #k> 1 # és:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Vegye figyelembe, hogy:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Ennélfogva # K ^ 2 + k-1 # nem egész szám négyszöge #sqrt (k ^ 2 + k-1) # irracionális, ellentmond az állításunknak #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # racionális.

Válasz:

Lásd lentebb.

Magyarázat:

Feltételezve

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # val vel # P / q # nem csökkenthető

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdot - (n-1)) = P / Q #

ami abszurd, mert ennek az eredménynek megfelelően a pozitív egész szám bármely négyzetgyöke racionális.