Írja át az egyenletet egy elforgatott x'y 'rendszerben x'y' kifejezés nélkül. Segíthetek? Kösz!

Válasz:

A második kiválasztás:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Magyarázat:

Az adott egyenlet

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

a kúpszelvény általános kartéziai formája:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

hol #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 és F = -144 #

A Tengelyek forgatása referenciapontok egyenleteket adnak, amelyek lehetővé teszik számunkra, hogy egy kúpos metszetet meghatározott szögben forgassunk # # Theta. Egy olyan egyenletet is ad nekünk, amely lehetővé teszi számunkra a # # Xy 0 lesz.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Az 1 egyenlet értékeinek helyettesítése:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

Egyszerűbb:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Használja a (9.4.4b) egyenletet annak ellenőrzésére, hogy az új forgatás az # # Xy időtartam 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # ellenőrizni.

A számításhoz használja a (9.4.4a) egyenletet # A '#:

#A '= (A + C) / 2 + (A-C) / 2 cos (2-teta) - B / 2 sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Használja a (9.4.4c) egyenletet a számításhoz # C '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C-A) / 2 cos (2theta) + B / 2 sin (2theta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

A számításhoz használja a (9.4.4f) egyenletet # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Most írhatunk a nem védett formát:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Oszd mindkét oldalt 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Adjunk 1-et mindkét oldalhoz:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

Válasz:

B lehetőség

Magyarázat:

Az egyenletet mátrix formában írhatjuk, majd a fő tengelyére.

Legyen:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + by), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

# = a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

És így a mátrix formában:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 négyzet négyzet #

A tengelyek elforgatása # # BBX által # # Theta:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #imple bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

átültető #bb x ^ '= R bb x #:

#bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, mivel R ortogonális

• #bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Az utolsó 2 eredmény beillesztése #négyzet#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW ha R az átlós mátrix M, akkor van az egyenlet az átlós sajátvektor mátrix fő tengelyei szempontjából D, azaz:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M sajátértékei 36 és 16, így átlósan lehet:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #