Melyek az f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) extrém és nyeregpontjai?

Válasz:

Magyarázat:

Nekünk van:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

2. lépés - A kritikus pontok azonosítása

Kritikus pont fordul elő a

# f_x = f_y = 0 iff (részleges f) / (részleges x) = (részleges f) / (részleges y) = 0 #

azaz amikor:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

Az A és a B egyidejű megoldása egyetlen megoldást kap:

# x = y = 1 #

Így arra a következtetésre juthatunk, hogy van egy kritikus pont:

# (1,1) #

3. lépés - A kritikus pontok osztályozása

A kritikus pontok osztályozásához a második részleges származékokat és a Hesseni mátrixot használva egy változó számításhoz hasonló tesztet végzünk.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((részleges ^ 2 f) / (részleges x ^ 2), (részleges ^ 2 f) / (részleges x részleges y)) ((részleges ^ 2 f) / (részleges y részleges x), (részleges ^ 2 f)) / (részleges y ^ 2)) = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Ezután az értéktől függően #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Maximális, ha" f_ (xx) <0), (, "és minimum, ha" f_ (xx)> 0) (Delta <0, "van nyeregpont")) (Delta = 0, "További elemzés szükséges"):} #

Az egyéni Excel makrók használata a függvényértékeket a részleges derivált értékekkel együtt a következőképpen számítja ki: