Melyek az f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) extrém és nyeregpontjai?

Válasz:

Magyarázat:

Nekünk van:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

2. lépés - A kritikus pontok azonosítása

Kritikus pont fordul elő a

# f_x = f_y = 0 iff (részleges f) / (részleges x) = (részleges f) / (részleges y) = 0 #

azaz amikor:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

Az A és a B egyidejű megoldása egyetlen megoldást kap:

# x = y = 1 #

Így arra a következtetésre juthatunk, hogy van egy kritikus pont:

# (1,1) #

3. lépés - A kritikus pontok osztályozása

A kritikus pontok osztályozásához a második részleges származékokat és a Hesseni mátrixot használva egy változó számításhoz hasonló tesztet végzünk.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((részleges ^ 2 f) / (részleges x ^ 2), (részleges ^ 2 f) / (részleges x részleges y)) ((részleges ^ 2 f) / (részleges y részleges x), (részleges ^ 2 f)) / (részleges y ^ 2)) = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Ezután az értéktől függően #Delta#:

# {: (Delta> 0, "Maximális, ha" f_ (xx) <0), (, "és minimum, ha" f_ (xx)> 0) (Delta <0, "van nyeregpont")) (Delta = 0, "További elemzés szükséges"):} #

Az egyéni Excel makrók használata a függvényértékeket a részleges derivált értékekkel együtt a következőképpen számítja ki:

Melyek az f (x) = 2x ^ 2 lnx extrém és nyeregpontjai?

Az: f (x) = 2x ^ 2lnx definíció tartománya az x (0, + oo) intervallum. Értékeljük a függvény első és második származékát: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx A kritikus pontok a következők: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 és x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) Ebben a pontban: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, így a kritikus pont helyi minimum. A nyeregpontok a következő megoldások: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -

Melyek az f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x extrém és nyeregpontjai?

Ez a funkció nem rendelkezik helyhez kötött pontokkal (biztos benne, hogy az f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x az, amit szeretett volna tanulni ?!). A nyeregpontok legszélesebb körű meghatározása (helyhez kötött pontok, amelyek nem extrémek) szerint a függvény D = (x, y) tartományában lévő helyhez kötött pontokat keresik RR ^ 2 = RR ^ 2 setminusban {(0 , y) az RR ^ 2} -on. Most átírhatjuk az f-nek adott kifejezést a következő módon: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Azonosításuk módja a

Melyek az f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) extrém és nyeregpontjai az x, y intervallumban [-pi, pi]?

Van: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) 1. lépés - A részleges származékok keresése két vagy több változó függvénye egy változó megkülönböztetésével, míg a többi változót állandónak tekintjük. Tehát: Az első származékok: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -6sinxsin2y A második származék (idézett): f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx ( 2cos2y) = -12sinxcos2y A második részleges kereszt-származékok a következők: f_ (xy) =