El kell különböztetni az x ^ 2sin (x) első elvet?

Válasz:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # a származékos termék definíciójától és bizonyos korlátokat figyelembe véve.

Magyarázat:

enged #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Azután

# (df) / dx = lim_ {h és 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h és 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h és 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h és 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h és 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h és 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h = 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

trigonometrikus identitás és néhány egyszerűsítés. Ezeken a négy utolsó soron van négy kifejezés.

Az első kifejezés már 0-nak felel meg

#lim_ {h 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h és 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, ami látható pl. Taylor terjeszkedéséből vagy L'Hospital szabályából.

A Negyedik ciklus is eltűnik, mert

#lim_ {h = 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h és 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Most a második időszak leegyszerűsíti

# lim_ {h és 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h és 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, mivel

#lim_ {h = 0} (sin (h)) / h = 1 #, mint itt látható, vagy pl. L'Hospital szabálya (lásd alább).

A harmadik ciklusban leegyszerűsíti

# lim_ {h és 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h = 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

amely után a második kifejezéshez azt adja

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Megjegyzés: L'Hospital szabálya szerint # {{{0} 0} sin (h) = 0 # és # t és mindkét funkció körül változik # H = 0 #, megvan

# {{{0}} sin (h) / h = lim_ {h és 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = h = 0} cos (h) = 1 #.

A határ # lim_ {h = 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # hasonlóan látható.