Használja az első elvet a megkülönböztetéshez? y = sqrt (sinx)

Válasz:

Az első lépés az, hogy a funkciót racionális exponensként írjuk át #f (x) = sin (x) ^ {1/2} #

Magyarázat:

Miután kifejezte ezt az űrlapot, megkülönböztetheti azt a Láncszabály használatával:

A te esetedben: # u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) #

Azután, # 1 / 2sin (X) ^ {- 1/2} * Cos (x) # melyik a válaszod

Válasz:

# d / dx sqrt (sinx) = cosx / (2sqrt (sinx)) #

Magyarázat:

A származtatott ügylet határ definíciójának használata:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (f (x + h) -f (x)) / (h) #

Tehát az adott funkcióhoz, hol #f (x) = sqrt (sinx) #, nekünk van:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) #

# = lim_ (h rarr 0) (sqrt (sin (x + h)) - sqrt (sinx)) / (h) * (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) / (sqrt (sin (x + H)) + sqrt (sinx)) #

# = lim_ (h rarr 0) (sin (x + h) -sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) # #

Ezután használhatjuk a trigonometrikus identitást:

# sin (A + B) - = sinAcosB + cosAsinB #

Adjon nekünk:

# f '(x) = lim_ (h rarr 0) (sinxcos h + cosxsin h-sinx) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1) + cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) # #

# = lim_ (h rarr 0) (sinx (cos h-1)) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) + (cosxsin h) / (h (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx))) #

# = lim_ (h rarr 0) (cos h-1) / h (sinx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) + (sin h) / h (cosx) / (sqrt (sin (x + h)) + sqrt (sinx)) #

Ezután két nagyon standard számítási határértéket használunk:

# lim_ (theta -> 0) sintheta / theta = 1 #, és #lim_ (theta -> 0) (costheta-1) / theta = 0 #, és #

És most értékelhetjük a korlátokat:

# f '(x) = 0 xx (sinx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) + 1 xx (cosx) / (sqrt (sin (x)) + sqrt (sinx)) #

# (cosx) / (2sqrt (sin (x)) #