A 20 cm hosszúságú húr két darabra van vágva. Az egyik darab egy négyzet peremének kialakítására szolgál?

Válasz:

# "Minimális összterület = 10,175 cm²."

# "Maximális teljes terület = 25 cm²." #

Magyarázat:

# "Név x a darab hossza a négyzet formálásához." #

# "Ezután a négyzet területe" (x / 4) ^ 2 "." #

# "A háromszög kerülete" 20-x "." #

# "Ha y a háromszög egyenlő oldalának egyike, akkor" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20 x x

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => terület = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Teljes terület =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Ez egy parabole és a parabole minimális értéke" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "az" x = -b / (2 * a) ", ha a> 0." #

# "A maximum" x-> oo ", ha a> 0." #

# "Tehát a minimum" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7 sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Teljes terület =" 10.175 "cm²." #

# "A maximális érték x = 0 vagy x = 20." #

# "Ellenőrizzük a területet:" #

# "Ha" x = 0 => "terület =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Ha" x = 20 => "terület =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Így a maximális teljes terület 25 cm²."

Válasz:

A minimális terület #10.1756# és maximum #25#

Magyarázat:

Az oldalirányú, derékszögű, egyenlőszögű háromszög kerülete # A # jelentése # A + A + sqrt2a = egy (2 + sqrt2) # és területe # A ^ 2/2 #,

Legyen egy darab #x# cm. amelyből egy derékszögű egyenlőszárú háromszög képződik. Nyilvánvaló, hogy a derékszögű egyenlőszárú háromszög oldala lenne # X / (2 + sqrt2) # és területe lenne

# X ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (X ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

A sztring más részének kerülete a négyzetet alkotja # (20-x) # és a négyzet oldalaként # (20-x) / 4 # területe # (20-x) ^ 2/16 # és a teljes terület # T # a kettő közül

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Figyelj rá # 3-2sqrt2> 0 #, így az együttható együtthatója # X ^ 2 # pozitív, és ezért minimálisak lesznek és írhatunk # T # mint

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0,1054 (x ^ 2-23.7192x + (11,8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11,8596) ^ 2 #

= # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

Mint # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 # mindig pozitív, minimális értéke van # T # amikor # X = 11,8596 #.

Megfigyeljük, hogy a prioritásnak nincs maximális értéke a függvénynek, de az értékként #x# közöttük van #0,20#, és mikor # X = 0 #, nekünk van # T = 0,1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10,1756 = 25 #

és mikor # X = 20 # amikor # T = 0,1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10,1756 = 17,16 #

és így a maxima #25#

grafikon {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}