# 69. kérdés

Válasz:

Normál vonal: # Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Tangens vonal: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Magyarázat:

Az intuícióhoz: Képzeld el, hogy ez a funkció #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # leírja a terep magasságát, ahol #x# és # Y # koordináták a síkban és #ln (y) # feltételezzük, hogy a természetes logaritmus. Akkor minden # (X, y) # oly módon, hogy #f (x, y) = a # (a magasság) valamivel állandó # A # nevezzük szintű görbéknek. A mi esetünkben az állandó magasság # A # azóta nulla #f (x, y) = 0 #.

Lehet, hogy ismeri a topográfiai térképeket, amelyekben a zárt vonalak azonos magasságú vonalakat jeleznek.

Most a színátmenet #grad f (x, y) = ((részleges f) / (részleges x), (részleges f) / (részleges x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # egy pontot ad nekünk # (X, y) # amiben #f (x, y) # (a magasság) a leggyorsabban változik. Ez egyenesen felfelé vagy egyenesen lefelé a dombon, amíg a terepünk sima (differenciálható), és nem vagyunk tetején, alján vagy fennsíkon (szélsőséges pont). Ez valójában az állandó magasságú görbe normál iránya, úgy, hogy a # (X, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Ezért a normál vonal ebben az irányban megy keresztül # (2, e ^ 2) # leírható

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, hol #s in mathbbR # valódi paraméter. Meg lehet szüntetni # S # kifejezni # Y # függvényében #x# ha úgy tetszik, keresse meg

# Y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

A tangens irányban levő irányított deriváltnak kell lennie #0# (ami azt jelenti, hogy a magasság nem változik), így egy érintő vektor # (U, v) # meg kell felelnie

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# V = e ^ 2u #, hol # # Cdot a pontterméket jelenti. Így # (u, v) = (1, e ^ 2) # egy érvényes választás. Ezért a tangens vonal megy keresztül # (2, e ^ 2) # leírható

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t a mathbbR #.

Megoldás # Y # azt adja

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Végül ellenőrizze ezt # (2, e ^ 2) # a görbén fekszik #f (x, y) #, az érintővonalon és a normál vonalon.