Az S_ (k + 1) teljesen egyszerűsítése. Kösz?!!

Válasz:

# S_k = K (k + 1) (k + 2) / 3 #

#S_ (k + 1) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Magyarázat:

Nem helyettesíthetnénk # X = k + 1 # a képletbe, vagy itt hiányzik valami?

A sorrend:

# S_n = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + n (n + 1) = n (n + 1) (n + 2) / 3 #

Tehát, ha számítani akarunk # # S_k, most tettük # N = k #, és kap

# S_k = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + k (k + 1) = K (k + 1) (k + 2) / 3 #

Abban az esetben #S_ (k + 1) #, Azt hiszem, csak helyettesíthetjük # N = k + 1 #, és mi lesz

#S_ (k + 1) = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 + … + (k + 1) (k + 2) = (k + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

Ha ezt szeretnénk kiterjeszteni, akkor ez lesz

# (K + 1) (k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 2 + 3k + 2) (k + 3) / 3 #

# = (K ^ 3 + 3k ^ 2 + 3k ^ 2 + 9k + 2k + 6) / 3 #

# = (K ^ 3 + 6k ^ 2 + 11k + 6) / 3 #

# = K ^ 3/3 + (6k ^ 2) / 3 + (11k) / 3 + 6/3 #

# = K ^ 3/3 + 2K ^ 2 + (11k) / 3 + 2 #

Válasz:

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Magyarázat:

#S_n: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n (n + 1) = (n (n + 1) (n + 2)) / 3 #

Hagyja, hogy az állítás igaz legyen n = k, #S_k: 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + k (k + 1) = (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

Ellenőrizzük, hogy

akkor n = k + 1

# S_n = S_ (k + 1) #

# N + 1 = k + 2 #

# N + 2 = k + 3 #

# "azonnali távon" (k + 1) (k + 2) #

# (N (n + 1) (n + 2)) / 3 = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

És így, #S_ (k + 1): 1,2 + 2,3 + 3,4 + … + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) #

#S_ (k + 1): S_k + (k (k + 1) (k + 2)) / 3 #

# = (K (k + 1) (k + 2)) / 3+ (k + 1) (k + 2) #

# = 1/3-(k (k + 1) (k + 2) +3 (k + 1) (k + 2)) #

# = 1/3 ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #

Ellenőrzött.

És így

#S_ (k + 1) = ((k + 1) (k + 2) (k + 3)) / 3 #