Melyek az f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) abszolút extrémája a [2,9] -ben?

Válasz:

Az abszolút minimum # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# ami akkor fordul elő, amikor # X = 9 #.

Az abszolút maximum # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # ami akkor fordul elő, amikor # X = 2 #.

Magyarázat:

A függvény abszolút extrémája a függvény legnagyobb és legkisebb y-értékei egy adott tartományban. Ezt a tartományt megadhatjuk nekünk (mint ez a probléma), vagy lehet maga a funkció. Még akkor is, ha megkapjuk a tartományt, figyelembe kell vennünk magának a funkciónak a tartományát, amennyiben kizárja a megadott tartomány értékeit.

#f (X) # tartalmazza az exponentet #1/3#, ami nem egész szám. Szerencsére a #p (x) = root3 (X) # jelentése # (- oo, oo) # így ez a tény nem jelent problémát.

Mégis meg kell vizsgálnunk azt a tényt, hogy a nevező nem egyenlő a nulla értékkel. A nevező nulla, amikor #X = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Ezen értékek egyike sem tartozik az adott tartományhoz #2,9#.

Tehát fordulunk az abszolút extrém felkutatásához #2,9#. Abszolút szélsőséges helyzet fordul elő a tartomány végpontjain vagy helyi extrémánál, azaz olyan pontokon, ahol a függvény megváltoztatja az irányt. A helyi szélsőség a kritikus pontokban fordul elő, amelyek a tartományban lévő pontok #0# vagy nem létezik. Így meg kell találnunk a származékot. A hányados szabály használata:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Ha tényezünk # -3x ^ (- 2/3) # a számlálón kívül:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Nincsenek értékek #x# tovább #2,9# hol #f '(x) # nem létezik. Nincsenek értékek is #2,9# hol #f '(x) = 0 #. Így nincs kritikus pont az adott tartományban.

A "jelöltek tesztje" segítségével megtaláljuk az értékeket #f (X) # a végpontokon. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

A számológépeink gyors ellenőrzése azt mutatja, hogy:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (abszolút maximum)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (abszolút minimum)

Milyen tételt garantál egy abszolút maximális érték és abszolút minimális érték létezését az f számára?

Általában nincs biztosíték arra, hogy az f abszolút maximális vagy minimális értéke fennálljon. Ha f egy zárt intervallumban [a, b] folyamatos (azaz zárt és határolt intervallumon), akkor az Extreme Value Theor garantálja az [a, b] intervallumban az f abszolút maximális vagy minimális értékét. .

Hogyan oldja meg az abszolút érték abszolút abszolút abszolút értékét (2x - 3) <5?

Az eredmény -1 <x <4. A magyarázat a következő: Az abszolút érték (ami mindig zavaró) elnyomása érdekében alkalmazhatja a szabályt: | z | <k, k RR => -k <z <k. Ezzel meg kell adnod, hogy | 2x-3 | <5 => - 5 <2x-3 <5, ami két egyenlőtlenség összeállítása. Ezeket külön kell megoldani: 1.) - 5 <2x-3 => - 2 <2x => - 1 <x 2.) 2x-3 <5 => 2x <8 => x <4 És végül mindkét az eredmények együtt (ami mindig elegánsabb), a végeredményt - 1 &

Hogyan találja meg az f abszolút maximális és abszolút minimális értékeit az adott intervallumon: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) a [-1, 5] -en?

Reqd. a szélső értékek -25/2 és 25/2. A t = 5sinx, t értéke [-1,5]. Figyeljük meg, hogy ez a helyettesítés megengedett, mert t a [-1,5] rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 rArr -1/5 <= sinx <= 1, ami jó, mint a bűn szórakozásának tartománya. [-1,1]. Most, f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x Mivel, -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2. a végtagok -25/2 és 25/2.