Hogyan találja meg az f abszolút maximális és abszolút minimális értékeit az adott intervallumon: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) a [-1, 5] -en?

Válasz:

Reqd. szélsőséges értékek # -25 / 2 és 25/2 #.

Magyarázat:

A helyettesítést használjuk # t = 5sinx, t a -1,5 #.

Megjegyezzük, hogy ez a helyettesítés megengedett, mert

# t -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, ami jó, mint tartomány #bűn# szórakoztató. jelentése #-1,1#.

Most, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Mivel, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Ezért újra. végtagok # -25 / 2 és 25/2 #.

Válasz:

Keresse meg a függvény monotonitását a derivatív jeleiről, és döntse el, hogy melyik helyi maximum / minimum van a legnagyobb, legkisebb.

Abszolút maximum:

#f (3,536) = 12,5 #

Abszolút minimum:

#f (-1) = - 4,899 #

Magyarázat:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

A függvény származéka:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12.5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• A számlálónak két megoldása van:

  # T_1 = sqrt (12,5) = 3,536 #

  # T_2 = -sqrt (12,5) = - 3,536 #

  Ezért a számláló:

  Negatív a #t (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Pozitív #t (-3.536,3.536) #

• A nevező mindig pozitív # RR #, mivel ez egy négyzetgyökér.

  Végül a megadott tartomány #-1,5#

Ezért a függvény származéka:

- Negatív #t a -1,3536 #

- Pozitív #t (3.536,5) #

Ez azt jelenti, hogy a grafikon először felfelé emelkedik #f (-1) # nak nek #f (3,536) # és akkor megy le #f (5) #. Ez teszi #f (3,536) # az abszolút maximális és a legnagyobb érték #f (-1) # és #f (5) # az abszolút minimum.

Abszolút maximum #f (3,536) #:

#f (3,536) = 3.536sqrt (25-3,536 ^ 2) = 12,5 #

Abszolút maximálisan:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Ebből adódóan, #f (-1) = - 4,899 # az abszolút minimum.

Az alábbi grafikonból látható, hogy ez igaz. Csak hagyja figyelmen kívül a területet #-1# mivel ez a tartományon kívül van:

grafikon {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}