Mik az f (x, y) = xy (1-x-y) extrém és nyeregpontjai?

Válasz:

A pontok #(0,0),(1,0)#, és #(0,1)# a nyeregpontok. A lényeg #(1/3,1/3)# helyi maximumpont.

Magyarázat:

Bővíthetünk # F # nak nek #f (x, y) = xy-x ^ 2Y-xy ^ 2 #. Ezután keresse meg a részleges származékokat, és állítsa be őket nullával.

# {{{f {{f} {részleges x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# {{{f {{{f} {rész y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Tisztán, # (X, y) = (0,0), (1,0), # és #(0,1)# megoldások erre a rendszerre, és így a kritikus pontok # F #. A másik megoldás megtalálható a rendszerből # 1-2x-y = 0 #, # 1-X-2y = 0 #. Első egyenlet megoldása # Y # szempontjából #x# ad # Y = 1-2x #, amely a második egyenlethez csatlakoztatható # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Ebből, # Y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # is.

Ezen kritikus pontok jellegének teszteléséhez találunk második derivatívákat:

# {{{rész} {2} f} {részleges x ^ {2}} = - 2y #, # {{{rész} {2} f} {rész y ^ {2}} = - 2x #, és # {{{rész} {2} f} {részleges x rész y} = fr {részleges ^ {2} f} {részleges y részleges x} = 1-2x-2y #.

A diszkrimináns tehát:

# D = 4xy- (1-2x-2Y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4Y ^ 2) #

# = 4x + 4Y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Az első három kritikus pont csatlakoztatása a következőhöz:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #, és #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, így ezek a pontok nyeregpontok.

Az utolsó kritikus pont csatlakoztatása #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Ne feledje, hogy # {{{rész} {2} f} {részleges x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Ebből adódóan, #(1/3,1/3)# egy helyi maximum értékű hely # F #. Ellenőrizheti, hogy maga a helyi maximális érték #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

Az alábbiakban a kontúr térkép (a görbék) látható # F # (a görbék, ahol a kimenet # F # állandó), a 4 kritikus ponttal együtt # F #.