Mik az f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 extrém és nyeregpontjai?

Válasz:

# {: ("Kritikus pont", "Következtetés"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "nyereg"), ((-1,2), "nyereg "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Magyarázat:

Az elmélet, amely a # Z = f (x, y) # jelentése:

Egyidejűleg oldja meg a kritikus egyenleteket

# (részleges f) / (részleges x) = (részleges f) / (részleges y) = 0 t (azaz # Z_x = z_y = 0 #)
értékelje #f_ (x x), f_ (yy) és f_ (xy) (= f_ (yx)) # mindegyik kritikus ponton. Ezért értékelje # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # ezeken a pontokon
Határozza meg a szélsőségesség természetét;

# {: (Delta> 0, "Minimum, ha" f_ (xx) <0), (, "és maximum, ha" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "van nyeregpont")) (Delta = 0, "További elemzés szükséges"):} #

Tehát:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Keressük meg az első részleges származékokat:

# (részleges f) / (részleges x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (részleges f) / (részleges y) = 2xy + 2y #

Ezért kritikus egyenletünk:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

A második egyenletből:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

subs # X = -1 # az első egyenletbe és megkapjuk:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

subs # Y = 0 # az első egyenletbe és megkapjuk:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

És így van négy kritikus pontok koordinátákkal;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Tehát most nézzük meg a második részleges származékokat, hogy meghatározhassuk a kritikus pontok természetét:

# (részleges ^ 2f) / (részleges x ^ 2) = 12x + 10 #

# (részleges ^ 2f) / (részleges y ^ 2) = 2x + 2 #

# (részleges ^ 2f) / (részleges x részleges y) = 2y (= (részleges ^ 2f) / (részleges y részleges x)) #

És számítanunk kell:

# Delta = (részleges ^ 2f) / (részleges x ^ 2) (részleges ^ 2f) / (részleges y ^ 2) - ((részleges ^ 2f) / (részleges x részleges y)) ^ 2 #

minden kritikus ponton. A második részleges származékos értékek, #Delta#és a következtetések:

# {: ("Kritikus pont", (részleges ^ 2f) / (részleges x ^ 2), (részleges ^ 2f) / (részleges y ^ 2), (részleges ^ 2f) / (részleges x részleges y), Delta, "Következtetés"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "nyereg"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "nyereg"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Láthatjuk ezeket a kritikus pontokat, ha egy 3D-s telekra nézünk: