Mik az f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x extrém és nyeregpontjai?

Válasz:

Nyeregpont az eredeten.

Magyarázat:

Nekünk van:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

És így származtatjuk a részleges származékokat. Ne feledje, hogy részben megkülönböztetjük, hogy megkülönböztetjük a kérdéses változót, miközben a többi változót állandónak tekintjük. És aztán:

# (részleges f) / (részleges x) = 2xy-y ^ 2 t és # (részleges f) / (részleges y) = x ^ 2-2x #

Egy szélsőséges vagy nyeregpontban van:

# (részleges f) / (részleges x) = 0 t és # (részleges f) / (részleges y) = 0 t egyidejűleg:

azaz a következők egyidejű megoldása:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Ezért csak egy kritikus pont van a származásban #(0,0)#. A kritikus pont jellegének megállapításához a többváltozós Taylor sorozat elemzői szükségesek, és a következő vizsgálati eredmények:

# Delta = (részleges ^ 2 f) / (részleges x ^ 2) (részleges ^ 2 f) / (részleges y ^ 2) - {(részleges ^ 2 f) / (részleges x részleges y)} ^ 2 <0 => # nyeregpont

Így kiszámítjuk a második részszármazékokat:

# (részleges ^ 2f) / (részleges x ^ 2) = 2y t;# (részleges ^ 2f) / (részleges y ^ 2) = -2x t és # (részleges ^ 2 f) / (részleges x részleges y) = 2x-2y #

És akkor mikor # x = 0, y = 0 # kapunk:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Ez azt jelenti, hogy a standard nyeregteszt befogadó és további elemzés szükséges. (Ez általában magában foglalja a függvény jeleit különböző szeleteken, vagy a harmadik részszármazék-tesztet, amely e kérdéskörén kívül esik!).

Azt is megnézhetjük a 3D-s sablont, és gyorsan megállapíthatjuk, hogy a kritikus pont úgy tűnik, hogy megfelel a nyeregpontnak: