Válasz:
#arctan (e ^ x) + C #
Magyarázat:
# "írni" e ^ x "dx mint" d (e ^ x) ", majd" #
#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #
# "az y =" e ^ x "helyettesítéssel" #
#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #
# "ami egyenlő" #
#arctan (y) + C #
# "Most cserélje vissza" y = e ^ x: #
#arctan (e ^ x) + C #
Válasz:
#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctán ^ x + "c" #
Magyarázat:
Meg akarjuk találni # Inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = Int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #
Most hagyd # U = e ^ x # és így a különbség mindkét oldalon ad # Du = e ^ xdx #. Most mindkét egyenletet az integrációba helyettesítjük
# Int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #
Ez egy standard integrál, amely értékeli # # Arctanu. A helyettesítő #x# végső választ kapunk:
#arctan e ^ x + "c" #
Válasz:
#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) x = tan ^ -1 (e ^ x) + C #
Magyarázat:
Először hagyjuk # U = 1 + e ^ (2x) #. Az integráláshoz # U #, osztjuk a # U #, ami # 2e ^ (2x) #:
#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) t
# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u)
Az integráláshoz # U #, mindent kifejezni kell # U #, úgyhogy miért kell megoldanunk # E ^ x # értelme # U #:
# U = 1 + e ^ (2x) #
# E ^ (2x) = u-1 #
# 2x = ln (u-1) #
# X = 1 / 2ln (u-1) #
# X = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #
# E ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #
Most visszavezethetjük ezt az integrálba:
# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u)
Ezután egy helyettesítést fogunk bevezetni # Z = sqrt (u-1) #. A származékos termék:
# (DZ) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #
így osztjuk meg, hogy integrálódjunk # Z # (ne feledje, hogy az osztás ugyanaz, mint a viszonossági szorzás):
# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1)
# = 2 / 2int 1 / u
Most ismét megvan a rossz változónk, ezért meg kell oldanunk miért # U # egyenlő # Z #:
# Z = sqrt (u-1) #
# U-1 = z ^ 2 #
# U = z ^ 2 + 1 #
Ez adja meg:
#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2)
Ez a # Tan ^ -1 (Z) #, így kapunk:
#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #
Az összes helyettesítés visszavonása:
# Tan ^ -1 (Z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #
# = Tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #
# = Tan ^ -1 (e ^ x) +, C #
