A konvergencia definíciója segítségével hogyan bizonyíthatja, hogy a {2 ^ -n} szekvencia n = 1-től a végtelenségig konvergál?

Válasz:

Használja az exponenciális függvény tulajdonságait az N meghatározásához # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # minden # m, n> N #

Magyarázat:

A konvergencia meghatározása szerint a # {A_n} # konvergál, ha:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Szóval, adott #epsilon> 0 # vesz #N> log_2 (1 / epsilon) # és # m, n> N # val vel #m <n #

Mint #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # így # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Most mint # 2 ^ x # mindig pozitív, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, így

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

És mint # 2 ^ (- x) # szigorúan csökken és #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

De:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Így:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.