X megoldása az RR-ben az sqrt egyenlet (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Válasz:

#x 5, 10 #

Magyarázat:

enged # U = x-1 #. Ezután átírhatjuk az egyenlet bal oldalát

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Jegyezze fel a jelenlétét #sqrt (u) # az egyenletben, és csak valódi értékeket keresünk, így van a korlátozásunk #u> = 0. Ezzel figyelembe vesszük az összes többi esetet:

1. eset: # 0 <= u <= 4 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

És így # U = 4 # az egyetlen megoldás az intervallumban #0, 4#

2. eset: # 4 <= u <= 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Mivel ez tautológia, minden érték #4, 9# megoldás.

3. eset: #u> = 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

És így #u = 9 # az egyetlen megoldás az intervallumban # 9, oo #

Összefoglalva, van #4, 9# mint a valós értékekre beállított megoldás # U #. Helyettesítő #x = u + 1 #, megérkeztünk a végleges megoldásra #x 5, 10 #

A bal oldali grafikonra nézve ez megegyezik azzal, amit elvárnánk: