A két pozitív valós szám aránya p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2), majd az AM és a GM aránya?

Válasz:

# p / q #.

Magyarázat:

Hagyja, hogy a nos. lenni #x és y, "ahol, x, y" az RR ^ + #.

Amit megadnak, #X: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)):(p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, "mondd" #.

#:. x = lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) és y = lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

Most a AM # A # nak,-nek # X, y # van, # A = (x + y) / 2 = lambdap #, és az övék

GM # G = sqrt (xy) = sqrt lambda ^ 2 {p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)} = lambdaq #.

Tisztán, # "a kívánt arány" = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q #.

Válasz:

# P / q #

Magyarázat:

Ugyanezt a jelölést fogom használni, mint ebben a válaszban. Valójában ennek a megoldásnak nincs igazi szükségessége (mivel a problémát már elég jól megoldották) - kivéve, hogy egy olyan technika használatát illusztrálja, amit nagyon szeretem!

A probléma szerint

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p - sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

A departendo és az dividendo használatával (ez a kedvenc technika, amit már említettem) kapunk

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) azt jelenti, hogy #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) azt jelenti, hogy #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2) = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) azt jelenti, hogy #

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 azt jelenti, hogy #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• ami a szükséges AM: GM arány.