Használja az a) és b) -t a hatT_L = e ^ (LhatD) (a) [hatT_L, hatD] = 0 (b) [hatx, hatT_L] = - LhatT_L bizonyításához?

Bármit is mondasz ott, úgy tűnik, hogy azt kell tennünk #hatT_L = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #. Úgy néz ki, mintha bármilyen helyet kaptál volna, az zavarodott a # # HatT_L.

Végül bebizonyítjuk, hogy használjuk

#hatT_L - = e ^ (LhatD) = e ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# hatD, hatx - = ihatp_x // ℏ, hatx = 1 #

és nem #hatT_L = e ^ (- LhatD) #. Ha azt akarjuk, hogy minden következetes legyen, akkor ha #hatT_L = e ^ (- LhatD) #, meg kell lennie # hatD, hatx = bb (-1) #. Megjavítottam a kérdést, és már foglalkoztam ezzel.

Az 1. részből kimutattuk, hogy ez a definíció (azaz #hatT_L - = e ^ (LhatD) #),

# hatx, hatT_L = -LhatT_L #.

Mivel #f (x_0 - L) # az eigenstate of # # HatT_Laz azonnali forma, ami eszembe jut, egy exponenciális operátor # E ^ (LhatD) #. Ezt intuitáljuk #hatD = + ihatp_x // ℏ #, és megmutatjuk, hogy ez igaz.

Emlékezzünk arra, hogy az 1. részben bemutatott bizonyítékban:

#hatx (hatT_L f (x_0)) = (hatx, hatT_L + hatT_Lhatx) f (x_0) #

# = -LhatT_Lf (x_0) + hatT_Lhatxf (x_0) #

és ez az, ahol kellene használni. Csak annyit kell tennünk Taylor bővül az exponenciális operátor és megmutatja, hogy a fenti bizonyíték még mindig fennáll.

Ez itt is könnyű részletességgel jelenik meg. Bővítettem, hogy alaposabb legyen …

# e ^ (LhatD) = összeg_ (n = 0) ^ (oo) (LhatD) ^ (n) / (n!) = összeg_ (n = 0) ^ (oo) 1 / (n!) L ^ n (hatD) ^ n #

Add ezt # L # konstans, ezt a kommutátorból ki tudjuk számolni. # # Hatx beléphet, nem indexfüggő. Ebből adódóan:

# hatx, e ^ (LhatD) = összeg_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, hatD ^ n} #

Most azt javasoljuk #hatD = ihatp_x // ℏ #, és ez lenne értelme, mert tudjuk, hogy:

# hatx, hatp_x f (x) = -iℏx (df) / (dx) + iℏd / (dx) (xf (x)) #

# = törlés (-iℏx (df) / (dx) + iℏx (df) / (dx) + iℏf (x) #

így # hatx, hatp_x = iℏ #. Ez azt jelenti, hogy mindaddig, amíg #hatT_L = e ^ (LhatD) #, végül kaphatunk egy konzisztens meghatározást a probléma mindkét részén, és megkaphatjuk:

#color (kék) (hatD "," hatx) = (ihatp_x) / (ℏ), hatx #

# = - (hatp_x) / (iℏ), hatx = -1 / (iℏ) hatp_x, hatx #

# = -1 / (iℏ) cdot - hatx, hatp_x #

# = -1 / (iℏ) cdot-iℏ = szín (kék) (1) #

Ebből tovább bővítjük a kommutátort:

# hatx, e ^ (ihatp_xL // ℏ) = összeg_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n } #

# = összeg_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatx, hatp_x ^ n} #

Most már tudjuk # hatx, hatp_x #, de nem feltétlenül # hatx, hatp_x ^ n #. Meggyőzheted magad

# d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) = x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1)) #

és az

# hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots #

# = (-iℏ) d / (dx) ^ n = (-iℏ) ^ n (d ^ n) / (dx ^ n) #

úgy, hogy:

# hatx, hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx #

# = x cdot (-iℏ) ^ n (d ^ n f) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n d ^ n / (dx ^ n) (xf (x)) #

# = (-iℏ) ^ nx (d ^ nf) / (dx ^ n) - (-iℏ) ^ n (x (d ^ nf) / (dx ^ n) + n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = (-iℏ) ^ n {Cancel (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - törlés (x (d ^ nf) / (dx ^ n)) - n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))} #

# = (-iℏ) ^ (n-1) (- iℏ) (- n (d ^ (n-1) f) / (dx ^ (n-1))) #

# = iℏn (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) f (x) #

Ezt felismertük # hatp_x ^ (n-1) = (-iℏ) ^ (n-1) (d ^ (n-1)) / (dx ^ (n-1)) #. És így,

# hatx, hatp_x ^ n = iℏnhatp_x ^ (n-1) #, biztosítani #n> = 1 #.

Ebből:

# hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ) = összeg_ (n = 0) ^ (oo) {1 / (n!) (L ^ n) hatx, ((ihatp_x) / (ℏ)) ^ n} #

# = összeg_ (n = 1) ^ (oo) {1 / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n iℏnhatp_x ^ (n-1)} #

hol, ha értékeli a #n = 0 # meg kell látnod, hogy nullára megy, így elhagytuk. Folyamatban van:

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) n / (n!) ((iL) / (ℏ)) ^ n hatp_x ^ (n-1) #

# = iℏ sum_ (n = 1) ^ (oo) 1 / ((n-1)!) ((iL) / ℏ) ^ (n-1) ((iL) / ℏ) hatp_x ^ (n-1) #

Itt egyszerűen csak megpróbáljuk újra megjelenni az exponenciális függvényt.

# = iℏ ((iL) / ℏ) összeg_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) # #

(csoportfogalmak)

# = -L összeg_ (n = 1) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n-1) / ((n-1)!) # #

(értékelje a külsőt)

# = -L overbrace (összeg_ (n = 0) ^ (oo) ((ihatp_xL) / ℏ) ^ (n) / (n!)) ^ (E ^ (ihatp_xL // ℏ)) #

(ha # N # nulla, a # (N-1) #a kifejezés a # N #th).

Ennek eredményeként végül megkapjuk:

# => szín (kék) (hatx "," e ^ (ihatp_xL // ℏ)) = -Le ^ (ihatp_xL // ℏ) #

# - = -Le ^ (LhatD) #

# - = szín (kék) (- LhatT_L) #

És ismét visszatérünk az eredeti kommutátorhoz, azaz

# hatx, hatT_L = -LhatT_L szín (kék) (sqrt "") #

Végül mutassuk meg # hatT_L, hatD = 0 #.

# hatT_L, hatD = e ^ (LhatD), hatD #

# = összeg_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!), hatD #

# = (sum_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n!)) hatD - hatD (összeg_ (n = 0) ^ (oo) ((LhatD) ^ n) / (n !)) #

Ezt kifejezetten írva láthatjuk, hogy működik:

# = szín (kék) (hatT_L "," hatD) = ((LhatD) ^ 0) / (0!) hatD + ((LhatD) ^ 1) / (1!) hatD +… - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 0) / (0!) + ((LhatD) ^ 1) / (1!) HatD - hatD ((LhatD) ^ 1) / (1!) +… #

# = ((LhatD) ^ 0) / (0!), HatD + (LhatD) ^ (1) / (1!), HatD +… #

# = L ^ 0 / (0!) (HatD) ^ 0, hatD + L ^ 1 / (1!) (HatD) ^ (1), hatD +… #

# = szín (kék) (összeg_ (n = 0) ^ (oo) L ^ n / (n!) (hatD) ^ n "," hatD) #

és azóta # # HatD mindig együtt jár el # hatD ^ n, hatD = 0 # és ezért,

# hatT_L, hatD = 0 # #COLOR (kék) (sqrt "") #