Kérjük, magyarázd el, ez egy lineáris átalakítás?

Válasz:

Lásd lentebb

Magyarázat:

Trasformáció #T: V t azt mondják, hogy lineáris, ha az alábbi két tulajdonsággal rendelkezik:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # minden # v_1, v_2 a V #
• #T (CV) = cT (v) # minden #v V-ben és minden skalár # C #

Ne feledje, hogy a második tulajdonság ezt feltételezi # V # be van ágyazva két összegű összeggel és scalar szorzással. Esetünkben az összeg a polinomok közötti összeg, és a szorzás a valós számokkal való szorzás (feltételezem).

Amikor egy polinomot hoz létre, akkor csökkentse annak mértékét #1#, tehát ha a polinom fokozatot kap #4# kétszer kapsz egy fokozatú polinomot #2#. Megjegyezzük, hogy amikor mind a négyfokozatú polinomiális halmazról beszélünk, valójában minden fokozatú polinom halmazát értjük. leginkább négy. Tény, hogy egy általános fokú négy polinom van

# A_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Ha azt szeretné, hogy a fokozat két polinom legyen # 3 + 6x-5x ^ 2 #Például egyszerűen választhat

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Ezzel azt mondjuk, azonosítsuk meg a fokozat polinomiális terét # N # val vel # # P_n, és határozza meg üzemeltetőnket #T: P_4 t oly módon, hogy #T (f (x)) = f '' (x) #

Tegyük előre az első tulajdonságot: feltételezzük, hogy vannak a polinomok

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

és

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Ez azt jelenti # P_1 + p_2 # egyenlő

# (A_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # ennek a polinomnak a második származéka, így van

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(A deriváláshoz kétszer alkalmazott erőszabályt alkalmaztam: a második származékot # X ^ n # jelentése #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Most számítsuk ki #T (p_1) #, vagyis a # # P_1:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Hasonlóképpen, #T (p_2) #, vagyis a # # P_2, van

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Ha összegezed ezeket a kifejezéseket, láthatod, hogy van

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

A második tulajdonságot hasonló módon mutatjuk be: egy polinomot kapott

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

van, bármilyen valós számra # C #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

így a második származéka

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

amely ismét megegyezik a számítástechnikával #T (p) #, majd megszorozzuk mindent # C #, azaz #T (cp) = cT (p) #