Hogyan talál egy lineáris közelítést a gyökérhez (4) (84)?

Válasz:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

Magyarázat:

Vegye figyelembe, hogy #3^4 = 81#, ami közel van #84#.

Így #root (4) (84) # egy kicsit nagyobb, mint #3#.

A jobb közelítés érdekében lineáris közelítést használhatunk, egy Newton-módszer.

Adjuk:

#f (x) = x ^ 4-84 #

Azután:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

és hozzávetőleges nulla értéket ad # X = A # nak,-nek #f (X) #, a jobb közelítés:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

Tehát a mi esetünkben # A = 3 #, a jobb közelítés:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3,02 bar (7) #

Ez szinte pontos #4# jelentős számok, de tegyük fel a közelítést #3.03#

Válasz:

#root (4) (84) ~~ 3,02778 #

Magyarázat:

Ne feledje, hogy a lineáris közelítés egy pont közelében # A # adható:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

Ha adott: #f (x) = gyökér (4) (x) #

akkor megfelelő választás # A # lenne # A = 81 # mert tudjuk #root (4) 81 = 3 # pontosan és közel van #84#.

Így:

#f (a) = f (81) = gyökér (4) (81) = 3 #

Is;

#f (x) = x ^ (1/4) # így #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

Ezért közelíthetjük (közel #81#):

#f (x) ~~ f (a) + F '(a) (x-a) #

# a gyökér (4) (x) ~ ~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

Így:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

A pontosabb érték #3.02740#

így a lineáris közelítés meglehetősen közel áll.

Válasz:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

Magyarázat:

Azt mondhatjuk, hogy van egy funkciója #f (x) = gyökér (4) (x) #

és # root (4) (84) = f (84) #

Most keressük meg funkciónk származékát.

Használjuk a hatalmi szabályt, amely azt állítja, hogy ha #f (x) = x ^ n #, azután #f '(x) = nx ^ (n-1) # hol # N # állandó.

#f (x) = x ^ (1/4) #

=>#f '(x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=>#f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=>#f '(x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=>#f '(x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

Most, hogy közelítsük # root (4) (84) #, megpróbáljuk megtalálni a 84-es legközelebbi tökéletes negyedik hatalmat

Lássuk…

#1#

#16#

#81#

#256#

Ezt látjuk #81# a legközelebbi.

Ekkor találjuk meg funkciójának érintővonalát, amikor # X = 81 #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * 81 ^ (1/4)) #

=>#f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=>#f '(81) = 1/108 #

Ez a lejtő, amit keresünk.

Próbáljuk meg írni az űrlap tangens sorának egyenletét # Y = mx + b #

Nos, mi az # Y # egyenlő mikor # X = 81 #?

Lássuk…

#f (81) = gyökér (4) (81) #

=>#f (81) = 3 #

Ezért most:

# 3 = M81 + b # Tudjuk, hogy a lejtő, # M #, van #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + b # Most megoldhatjuk # B #.

=># 3 = 81/108 + b #

=># 3 = 3/4 + b #

=># 2 1/4 = b #

Ezért a tangens vonal egyenlete # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

Jelenleg 84 helyet használunk #x#.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># Y = 7/9 + 9/4 #

=># Y = 28/36 + 81/36 #

=># Y = 109/36 #

=># Y = 3.02bar7 #

Ebből adódóan, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #