X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 egy gyökér x = sqrt (2) + sqrt (3). Mi a másik három gyökere és miért?

Válasz:

A másik három gyökér #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # és #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Amiért, hadd mondjak el egy történetet …

Magyarázat:

Mr. Rational Algebra városában él.

Ismeri az űrlap összes számát # M / n # hol # M # és # N # egész számok és #n! = 0 #.

Nagyon boldogan oldja meg a polinomokat # 3x + 8 = 0 # és # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, de sokan megverik őt.

Még egy látszólag egyszerű polinom # X ^ 2-2 = 0 # úgy tűnik, inoluable.

A gazdag szomszédja, Mr Real, kárhoztatja őt. "Amire szüksége van, az az, amit négyzetgyöknek nevezünk #2#. Itt van. "Ezekkel a szavakkal, Mr Real átad egy titokzatos, fényes kék számot # # R_2 Rational úrnak. Minden, amit erről a számról mondanak, az az # R_2 ^ 2 = 2 #.

Rational úr visszatér a tanulmányához, és játszott ezzel a titokzatosval # # R_2.

Egy kis idő elteltével úgy találja, hogy hozzáadhat, kivonhat, megszorozhat és megoszthatja az űrlap számát # a + b R_2 # hol # A # és # B # racionálisak és ugyanolyan formátumúak. Azt is megjegyzi # X ^ 2-2 = 0 # van egy másik megoldás, nevezetesen # # -R_2.

Most már nemcsak képes megoldani # X ^ 2-2 = 0 #, de # X ^ 2 + 2x-1 = 0 # és sokan mások.

Sok más polinom még mindig elkerüli a megoldást. Például, # X ^ 2-3 = 0 #, de Real úr örömmel ad neki egy fényes zöld számot # # R_3 ez megoldja ezt.

Rational úr hamar rájön, hogy az összes számot kifejezheti # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, hol # A #, # B #, # C # és # D # racionálisak.

Egy nap Rationalnak van egy megoldása # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. Ezt megtalálja # X = R_2 + R_3 # megoldás.

Mielőtt több megoldást keres, a szomszédjába, Mr Realba ütközik. Köszönet illeti Real urat az ajándékért # # R_2 és # # R_3, de van egy lekérdezés róluk. - Elfelejtettem megkérdezni: - mondja, "pozitívak vagy negatívak?". - Nem gondoltam, hogy érdekel. - mondta Mr Real. "Amíg racionális együtthatókkal megoldja a polinomokat, nem igazán számít. Az új számok hozzáadásához, kivonásához, megszorításához és megosztásához talált szabályok éppúgy jól működnek. hívott # # R_2 az, amit a legtöbb ember hív # -Sqrt (2) # és az, akit hívtál # # R_3 az, amit a legtöbb ember hív #sqrt (3) #'.

Tehát Rational úr új formanyomtatványai # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # nem számít, hogy # # R_2 és / vagy # # R_3 pozitív vagy negatív a rinális együtthatókkal rendelkező polinomok megoldása szempontjából.