Bizonyítsuk be: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Bizonyítani # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

enged # Cos ^ -1x = théta #

# => X = costheta #

Most # LHS = 3theta #

# = Cos ^ -1cos (3theta) #

# = Cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = Cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Előadás

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Néha a trig kevésbé foglalkozik matematikával és többet a matematika felismerésével, amikor látjuk. Itt felismerjük # 4x ^ 3 -3x # a kozinikus hármas szög képlet, # (3 hetes) # amikor # x = cos t.

factoid: # 4x ^ 3-3x # is hívják # T_3 (X) #, a harmadik Chebyshev első polinomja. Általában, # cos (nx) = T_n (cos x).

Feltételezzük # # ARccOS a fő értékre utal. Én inkább a főkört hívom #text {Arc} szövege {cos} # de ez nehezebben írható.

Elég háttér. Miután felismertük a hármas szög képletet, a bizonyítás egyszerű.

Bizonyíték:

enged #theta = arccos x.

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3-theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #