A padlóra szivárgó víz kör alakú medencét képez. A medence sugara 4 cm / perc sebességgel növekszik. Milyen gyorsan növekszik a medence területe, ha a sugár 5 cm?

Válasz:

# # 40pi # "cm" ^ 2 "/ perc" #

Magyarázat:

Először is egy olyan egyenletből kell indulnunk, amit tudunk egy kör, a medence és annak sugara területéről:

# A = pir ^ 2 #

Ugyanakkor azt szeretnénk látni, hogy milyen gyorsan növekszik a medence területe, ami nagyon hasonlóan hangzik … ami nagyon hasonlít egy származékra.

Ha a # A = pir ^ 2 # az idő tekintetében # T #, látjuk, hogy:

# (DA) / dt = pi * 2R * (dr) / dt #

(Ne felejtsük el, hogy a láncszabály a jobb oldalon, a # R ^ 2 #- ez hasonló az implicit differenciáláshoz.)

Szóval, meg akarjuk határozni # (DA) / dt #. A kérdés azt mondta nekünk # (Dr) / dt = 4 # amikor azt mondta: "a medence sugara megnő. t #4# cm / min, "és azt is tudjuk, hogy megtalálni szeretnénk # (DA) / dt # amikor # R = 5 #. Ezeknek az értékeknek a csatlakoztatásával láthatjuk, hogy:

# (DA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Ezt szavakba foglalva azt mondjuk, hogy:

A medence területe kb. T # # Bb40pi cm# "" ^ BB2 #/ perc, amikor a kör sugara van # # BB5 cm.

A háromszög magassága 1,5 cm / perc sebességgel növekszik, míg a háromszög területe 5 négyzetméter / perc sebességgel növekszik. Milyen sebességgel változik a háromszög alapja, amikor a magasság 9 cm, és a terület 81 négyzetméter?

Ez egy összefüggő (változás) típusú probléma. Az érdeklődő változók: a = magasság A = terület, és mivel egy háromszög területe A = 1 / 2ba, b = bázisra van szükségünk. A megadott változások percenkénti egységben vannak, így a (láthatatlan) független változó t = idő percben. Adunk: (da) / dt = 3/2 cm / perc (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min És megkérdezzük, hogy (db) / dt, ha a = 9 cm és A = 81cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, megkülönböztetv

A víz szivárog ki egy fordított kúpos tartályból 10 000 cm3 / perc sebességgel, ugyanakkor a tartályba állandó sebességgel szivattyúzunk vizet. Ha a tartály magassága 6 m és az átmérő a tetején 4 m és ha a vízszint 20 cm / perc sebességgel emelkedik, amikor a víz magassága 2 m, hogyan találja meg azt a sebességet, amellyel a vizet szivattyúzzák a tart&#

Legyen V a tartályban lévő víz térfogata cm ^ 3-ban; legyen h a víz mélysége / magassága, cm-ben; és legyen a víz felszínének sugara (tetején), cm-ben. Mivel a tartály fordított kúp, így a víz tömege is. Mivel a tartály magassága 6 m, és a sugár a 2 m tetejénél hasonló, a hasonló háromszögek azt jelzik, hogy fr {h} {r} = fr {6} {2} = 3 úgy, hogy h = 3r. Az invertált kúp térfogata ezután V = fr {1} {3} és r ^ {2} h = r r {{}}. Most megkülönb&

Amikor Jane úszómedencéje új volt, 6 perc múlva tölthető vízzel egy tömlőből. Most, hogy a medencében több szivárgás is van, mindössze 8 percig tart, hogy az összes víz kifolyjon a teljes medencéből. Mennyi időbe telik a szivárgó medence kitöltése?

24 perc Ha a medence teljes térfogata x egység, akkor minden perc x / 6 egység víz kerül a medencébe. Hasonlóképpen x / 8 egységnyi víz szivárog a medencéből percenként. Ezért (+) x / 6 - x / 8 = x / 24 egységnyi víz töltött percenként. Következésképpen a medence 24 percet vesz igénybe.