Minden téglalap 6 cm hosszú és 3 cm széles, közös PQ átlóval rendelkezik. Hogyan mutatod be, hogy a tanalpha = 3/4?

Válasz:

kapok #tan alpha = tan (pi / 2 - 2 arctan (3/6)) = 3/4 #

Magyarázat:

Fun. Néhány különböző módra gondolok, hogy ezt lássam. A vízszintes téglalapnál hívjuk fel a bal felső S-t és az alsó jobb oldalt R. Hívjuk az ábra csúcsát, a másik téglalap sarkát, T.

A QPR és a QPT egybevágó szögei vannak.

# tan QPR = tan QPT = frac {szöveg {szemben}} {szöveg {szomszéd}} = 3/6 = 1/2 #

Az érintő dupla szögű képlet ad nekünk #tan RPT #

#tan (2x) = frac {2 tan x} {1 - tan ^ 2 x} #

#tan RPT = frac {2 (1/2)} {1 - (1/2) ^ 2} = 4/3 #

Most # Alfa # az RPT kiegészítő szöge (add hozzá # 90 ^ CIRC #), így

# tan alpha = cot RPT = 3/4 #

Válasz:

Lásd alább.

Magyarázat:

háromszögek # # DeltaABP és # # DeltaCBQ a derékszögű háromszögek:

# AP = CQ = 3 # és

# / _ ABP = / _ CBQ # mert függőleges szögek.

Ezért a két háromszög egyforma.

Ez azt jelenti, hogy:

# PB = BQ #

enged # AB = x # és # BQ = y # azután:

# PB = y #

Tudjuk:

# X + y = 6 # cm #COLOR (piros) (egyenlet-1) #

Háromszögben # # DeltaABP:

# Y ^ 2 = x ^ 2 + 9 # #COLOR (piros) (egyenlet-2) #

Megoldjuk # Y # tól től #COLOR (piros) (egyenlet-1) #:

# Y = 6-x #

Csatlakoztassuk ezt #COLOR (piros) (egyenlet-2) #:

# (6-x) ^ 2 = x ^ 2 + 9 #

# 36-12x + x ^ 2-X ^ 2 + 9 #

# 36-12x = 9 #

# 12x = 27 #

# X = 9/4 #

# Tanalpha = (AB) / (AP) = x / 3 = (9/4) / 3 = 9/12 = 3/4 #