Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) új kérdés ?

#A) #

Csak meg kell tennie #Psi ^ "*" Psi #.

#color (kék) (Psi ^ * * Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) bűn ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) bűn ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) bűn ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L bűn ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = szín (kék) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) bűn ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#l) #

Az időszak minimális erőfeszítéssel megtalálható, egyszerűen azáltal, hogy először ismeri az energiákat, amelyek a mozgás konstansai.

Az energia # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # jelentése # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #és az energia # # Phi_2 jelentése # # 4E_1. Ezért a frekvencia # # Omega_2 nak,-nek # # Phi_2 négyszerese a # # Phi_1 (# # Omega_1).

Ennek eredményeként az időszak # T_1 = (2pi) / (omega_1) # nak,-nek # # Phi_1 négyszerese a # # Phi_2 (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, és szintén egy periódus # # Phi_2.

Ez az időszak így van #color (kék) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Hagyom, hogy magadba dugd ezt #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. Nem kell semmit csinálni vele …

Tudjuk #T = (2pi) / (omega_1) #, és az # (iEt) / ℏ = iomegat #, így

#E_n = omega_nℏ #.

Ennek eredményeként

# pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

és

#color (kék) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = szín (kék) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

A valószínűsége annak, hogy megtaláljuk a részecskéket # 0, L / 2 # megadva

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) bűn ((pix) / L) bűn ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Az első két kifejezés szimmetrikus az amplitúdó felével és a hozammal #50%# átfogó.

A harmadik ciklus stacionárius valószínűséggel rendelkezik # 4 / (3pi) #, és #kötözősaláta# tetszőleges fázisfaktor. Így az általános valószínűség

# = szín (kék) (0,50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (kék) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Nincs triviális megoldás erre … Ez kiderül:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = szín (kék) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi-8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#f) #

Nál nél #x = L / 2 #, a #bűn# kifejezések megy #sin (pi / 2) = 1 # és a #sin (pi) = 0 #, illetve.

Mivel #sin (pi) = 0 #, az időfüggő része #Psi ^ "*" Psi # eltűnik, és az időfüggetlen rész megmarad # 1 / L # a valószínűségi sűrűség.