Egy egyenlőszárú háromszög két sarka (1, 3) és (9, 4). Ha a háromszög területe 64, milyen hosszúságú a háromszög oldala?

Válasz:

A háromszög oldalainak hossza:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Magyarázat:

A két pont közötti távolság # (x_1, y_1) # és # (x_2, y_2) # a távolság képlet adja meg:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Tehát a távolság # (x_1, y_1) = (1, 3) # és # (x_2, y_2) = (9, 4) # jelentése:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

ami egy irracionális szám egy kicsit nagyobb, mint #8#.

Ha a háromszög másik oldala azonos hosszúságú, akkor a háromszög maximális lehetséges területe:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Tehát ez nem így van. Ehelyett a másik két oldalnak azonos hosszúságúnak kell lennie.

Az oldalakkal ellátott háromszög # a = sqrt (65), b = t, c = t #, használhatjuk Heron képletét, hogy megtalálja a területét.

A gémek képlete azt jelzi, hogy az oldalakkal ellátott háromszög területe #a, b, c # és félig kerület #s = 1/2 (a + b + c) # által adva:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Esetünkben a félkörhatár:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

és Heron képlete szerint:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (fehér) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Szorozzuk mindkét végét #2# megkapja:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Négyzet mindkét oldalán, hogy:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Szorozzuk mindkét oldalt #4/65# megkapja:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Átültetése és hozzáadása #65/4# mindkét félnek:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Vegye ki a két oldal pozitív négyzetgyökét, hogy:

#t = sqrt (266369/260) #

Tehát a háromszög oldalainak hossza:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Alternatív módszer

A Heron képletének használata helyett a következőképpen gondolkodhatunk:

Tekintettel arra, hogy az egyenlőszárú háromszög alapja hosszú:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

A terület # 64 = 1/2 "bázis" xx "magasság" #

Tehát a háromszög magassága:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Ez a háromszög merőleges dőlésszögének hossza, amely áthalad az alap középpontján.

Tehát a másik két oldal két, derékszögű, háromszög alakú, háromszög alakú, háromszögből álló hipotenuszokat képez #sqrt (65) / 2 # és # (128sqrt (65)) / 65 #

Tehát Pythagoras, mindegyik oldal hosszúságú:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #