A három egész szám négyzetének összege 324. Hogyan találja meg az egész számokat?

Válasz:

Az egyetlen pozitív egész egész számmal rendelkező megoldás #(2, 8, 16)#

A teljes megoldás a következő:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Magyarázat:

Megkímélhetjük magunknak egy kis erőfeszítést azzal, hogy figyelembe vesszük, hogy milyen formát öltenek.

Ha # N # akkor páratlan egész szám #n = 2k + 1 # bizonyos egész számra # K # és:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Figyeljük meg, hogy ez az űrlap páratlan egésze # 4p + 1 #.

Tehát ha két páratlan egész szám négyzetét adja hozzá, akkor mindig egy egész számot kap # 4k + 2 # bizonyos egész számra # K #.

Vegye figyelembe, hogy #324 = 4*81# a forma # # 4k, nem # 4k + 2 #.

Ezért arra lehet következtetni, hogy a három egésznek egyenletesnek kell lennie.

Az egész számokban véges számú megoldás létezik # n ^ 2> = 0 # minden egész számra # N #.

Fontolja meg a nem negatív egész számok megoldásait. A végén negatív egész számokat tartalmazó változatokat adhatunk hozzá.

Tegyük fel, hogy a legnagyobb egész # N #, azután:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Így:

# 12 <= n <= 18 #

Ez a másik két egész négyzetének lehetséges összegét eredményezi:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Ezen értékek mindegyikéhez # K #, tegyük fel, hogy a legnagyobb maradék egész # M #. Azután:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

és szükségünk van rá # K-m ^ 2 # tökéletes tér.

Ezért megoldásokat találunk:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Tehát az egyetlen pozitív egész számokkal rendelkező megoldás #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Ez könnyű bemutatni # X, y # és # Z # annak is kell lennie, mert készít # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # és # Z = 2m_z # nekünk van

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # vagy

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # ami abszurd.

Tehát mostantól fogjuk megfontolni

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Most vizsgálja meg az identitást

# ((L ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n) ^ 2 + (2L) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

val vel # L, m, n # tetszőleges pozitív egész számok és készítés

# {(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

nekünk van

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # vagy megoldása # N #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

így a megvalósíthatóság érdekében

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # vagy

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

így # P = {1,2,3,4,5,6,7,8} # nekünk lesz

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # # így a megvalósítható # Q # vannak

#q_f = {80,72,56,32} # # mert #q equiv 0 mod 4 #

ezért meg kell találnunk

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # vagy

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Itt könnyen ellenőrizhető, az egyetlen megoldás

# L_1 = 2, m_1 = 4 # mert

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = sáv q_1 #

és következésképpen # n_1 = {4,5} #

és helyettesítjük 1 -re

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

a megoldás megadása

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #