Hogyan használjuk az 1 / (n + sqrt (n)) összeghatár-összehasonlító tesztet n = 1 - n = oo esetén?

Válasz:

#sum_ (n = 1) ^ OO1 / (n + sqrt (n)) # különbözik, ez látható az összehasonlítással #sum_ (n = 1) ^ OO1 / (2n) #.

Magyarázat:

Mivel ez a sorozat pozitív számok összege, meg kell találnunk egy konvergens sorozatot is #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # oly módon, hogy #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # és arra a következtetésre jut, hogy a sorozataink konvergensek, vagy meg kell találnunk egy olyan egymástól eltérő sorozatot #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # és zárja le a sorozatunkat, hogy eltérőek legyünk.

Megjegyezzük a következőket:

mert

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

Ebből adódóan

# N + sqrt (n) <= 2n #.

Így

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Mivel ez jól ismert #sum_ (n = 1) ^ OO1 / n # így eltér #sum_ (n = 1) ^ OO1 / (2n) # akkor is eltér, mert ha ez konvergens lenne # 2sum_ (n = 1) ^ OO1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ OO1 / n # is, és ez nem így van.

Most az összehasonlító teszt segítségével látjuk ezt #sum_ (n = 1) ^ OO1 / (n + sqrt (n)) # eltér.

A határérték-összehasonlító teszt két sorozatból áll, # # Suma_n és # # Sumb_n hol #a_n> = 0 #, # # B_ngt0.

Ha #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # hol #L> 0 # és véges, akkor vagy mindkét sorozat konvergál, vagy mindkét sorozat eltér.

Hagynunk kell # A_n = 1 / (n + sqrtn) #, az adott sorozat sorrendje. Egy jó # # B_n a választás az a hatalmas funkció # # A_n megközelítések # N # nagy lesz. Szóval, hadd # B_n = 1 / n #.

Vegye figyelembe, hogy # # Sumb_n eltér (ez a harmonikus sorozat).

Így látjuk #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Folytatás azáltal, hogy elosztjuk # N / n #, ez lesz #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Mivel a határérték #1#, ami #>0# és meghatároztuk, látjuk # # Suma_n és # # Sumb_n egyaránt eltér vagy konvergál. Mivel már tudjuk # # Sumb_n eltérnek, arra a következtetésre juthatunk # Suma_n = sum_ (n = 1) ^ OO1 / (n + sqrtn) # eltér.

Jason 75-ös matematikai tesztet kapott. Megengedte, hogy visszanyerje a tesztet, és 84. pontra növelte a pontszámát.

12% -os növekedés Változás = (új - régi) / (régi) Változás = (84 - 75) / 75 Változás = 9/75 Változás = 0,12 = 12%

Tegyük fel, hogy X egy folytonos véletlen változó, amelynek valószínűségi sűrűségfüggvényét a következőképpen adjuk meg: f (x) = k (2x - x ^ 2) 0 <x <2 esetén; 0 az összes többi x esetében. Mi a k, P (X> 1), E (X) és Var (X) értéke?

K = 3/4 P (x> 1) = 1/2 E (X) = 1 V (X) = 1/5 A k megtalálásához int_0 ^ 2f (x) dx = int_0 ^ 2k (2x-x ^ 2) dx = 1:. k [2x ^ 2 / x-^ 3/3] _0 ^ 2 = 1 k (4-8 / 3) = 1 => 4 / 3k = 1 => k = 3/4 P (x> 1) kiszámításához ), P (X> 1) = 1-P (0 <x <1) = 1-int_0 ^ 1 (3/4) (2x-x ^ 2) = 1-3 / 4 [2x ^ 2 / 2-x ^ 3/3] _0 ^ 1 = 1-3 / 4 (1-1 / 3) = 1-1 / 2 = 1/2 E (X) E (X) = int_0 ^ 2xf kiszámításához (x ) dx = int_0 ^ 2 (3/4) (2x ^ 2-x ^ 3) dx = 3/4 [2x ^ 3/3-x ^ 4/4] _0 ^ 2 = 3/4 (16 / 3- 16/4) = 3/4 * 16/12 = 1 V (X) V (X) = E (X ^ 2) - (E (X)) ^ 2 = E (X ^ 2) -1

Hogyan használjuk az első derivált tesztet az y = sin x cos x helyi extrém meghatározásához?

Az y = sin (x) cos (x) extrémája x = pi / 4 + npi / 2, n értéke relatív egész szám Be f (x), amely az y változását repsect-re reprezentálja. Legyen f '(x) az f (x) származéka. Az f '(a) az f (x) görbe meredeksége az x = egy pontnál. Ha a lejtés pozitív, a görbe növekszik. Ha a lejtő negatív, a görbe csökken. Ha a meredekség nulla, a görbe azonos értéken marad. Amikor a görbe eléri az extrémumot, akkor abbahagyja a növekedést / csökkenést és cs