Hogyan használjuk az első derivált tesztet az y = sin x cos x helyi extrém meghatározásához?

Válasz:

A szélsőség az # Y = sin (x) cos (x) # vannak

# X = pi / 4 + NPI / 2 #

val vel # N # relatív egész szám

Magyarázat:

Lenni #f (X) # a. t # Y # repsect-el #x#.

Lenni #f '(x) # a #f (X) #.

#f "(a) # a #f (X) # görbe a # X = A # pont.

Ha a lejtés pozitív, a görbe növekszik.

Ha a lejtő negatív, a görbe csökken.

Ha a meredekség nulla, a görbe azonos értéken marad.

Amikor a görbe eléri az extrémumot, akkor abbahagyja a növekedést / csökkenést és csökkenti / növekszik. Más szavakkal, a lejtő pozitívról negatívra, vagy negatívra, pozitívra halad a nulla értékkel.

Ezért, ha egy függvény extrémát keres, meg kell keresnie a származék null értékeit.

Nota bene Van olyan helyzet, amikor a derivatív null, de a görbe nem éri el az extremumot: úgynevezett inflexiós pontnak. a görbe pillanatnyilag abbahagyja a növekedést / csökkenést, majd folytatja a növekvő / csökkenő értéket. Tehát azt is ellenőrizni kell, hogy a meredekség jele megváltozik-e nullértéke körül.

Példa: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)) / dx #

# = Cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (X)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (X) #

Most, hogy megvan a képlete #f '(x) #, megkeressük a null értékeit:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x) #

A megoldások # Pi / 4 + NPI / 2 # val vel # N # relatív egész szám.

Válasz:

Még akkor is, ha az első derivált tesztet kívánjuk használni, érdemes ezt megfigyelni #y = 1/2 bűn (2x) #.

Magyarázat:

Miután ezt a megfigyelést elvégeztük, nem igazán szükségünk van a kalkulusra, hogy megtaláljuk az extrémát.

A trigonometria és a szinuszos függvények grafikonjaira támaszkodhatunk

A maximális érték (1/2) akkor következik be, amikor # 2x = pi / 2 + 2pik # vagy mikor #x = pi / 4 + pik # mert # K # egész szám.

A minimális érték a #x = 3pi / 4 + pik # mert # K # egész szám.

Használhatjuk a származékos terméket, de nem igazán szükségünk van rá.

A származékos termék használata

Átírva # Y #, gyorsan láthatjuk #y '= cos (2x) #

Tehát a kritikus számok # Y # vannak # 2x = pi / 2 + 2pik # és # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (amikor a kozin #0#) vagy

# x = pi / 4 + pik # és # x = (3pi) / 4 + pik #

Ellenőrizze a jelet #y '= cos (2x) #, a második kritikus számok és minimális értékek első sorában a maximális értékeket találjuk meg.