Keresse meg az árnyékos terület területét?

Válasz:

Lásd alább.

Magyarázat:

Amikor először megtanuljuk, hogy integrációval találja meg a területeket, reprezentatív téglalapokat veszünk függőlegesen.

A téglalapoknak alapja van # # Dx (egy kis változás #x#) és a nagyobb magasságok # Y # (az egyik a felső görbén) mínusz a kisebb # Y # érték (az alsó görbén). Ezután integrálunk a legkisebbektől #x# értéke a legnagyobb #x# érték.

Erre az új problémára két ilyen beszédet használhatunk (lásd Jim S válaszát), de nagyon hasznos megtanulni gondolkodásunkat #90^@#.

Horiontálisan reprezentatív téglalapokat készítünk.

A téglalapok magassága # # Dy (egy kis változás # Y #) és a bázisok nagyobbak #x# (az egyik a legszélsőbb görbe) mínusz a kisebb #x# értéke (a bal szélső görbén). Ezután integrálunk a legkisebbektől # Y # értéke a legnagyobb # Y # érték.

Figyeljük meg a kettősséget

# {:("vertikális", iff, "horizontális"), (dx, iff, dy), ("felső", "iff", "rightmost"), ("alacsonyabb", "iff", "leftmost"), (x, iff, y):} #

A kifejezés a "legkisebb #x# értéke a legnagyobb #x# értéke azt jelzi, hogy a balról jobbra integrálunk #x# értékeket.)

A kifejezés a "legkisebb # Y # értéke a legnagyobb # Y # értéke azt jelzi, hogy az alulról felfelé integrálunk # Y # értékeket.)

Itt van egy kép a régióról, amelyen egy kis téglalap látható:

A terület

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

Válasz:

Az árnyékolt terület területe # 1m ^ 2 #

Magyarázat:

# X = 1 / y ^ 2 #

# Y ^ 2 = 1 / x #

# Y = sqrtx / x # (a grafikonon látható)

# Sqrtx / x = x # #<=># # X ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# X ^ 4-x = 0 # #<=># #X (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # X = 1 # (a grafikonból is látható)

Az árnyékolt térség területének egyik módja lehet a háromszög területe # AhatOB = Ω # kivéve a cián területet, amelyet hívok #COLOR (cián) (Ω_3) #

enged #Ω_1# legyen a grafikonon látható fekete terület #COLOR (zöld) (Ω_2) # a grafikonon látható zöld terület.

A kis háromszög területe # ChatAD = # #COLOR (zöld) (Ω_2) # lesz:

• #COLOR (zöld) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# Sqrtx / x = 2 # #<=># # Sqrtx = 2x # #<=># # X = 4x ^ 2 #

#<=># # X = 1/4 #

A terület #Ω_1# lesz:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / x) dx = 2 X _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

Ennek eredményeként az árnyékolt terület lesz

• #Ω_1## + (Zöld) (Ω_2) ## = 1/2 + 1/2 = 1m ^ 2 #