Mi a konverzió időszaka az {{n = 0} ^ {oo} (fr {1} {x (1-x)}) ^ n?

Válasz:

#x (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Magyarázat:

Ezt megtehetjük #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # geometriai sorozat, arány # R = 1 / (x (1-x)) #.

Most már tudjuk, hogy a geometriai sorozat konvergál, ha az arány abszolút értéke kisebb, mint 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Tehát meg kell oldanunk ezt az egyenlőtlenséget:

# 1 / (x (1-x)) <1 és 1 / (x (1-x))> -1 #

Kezdjük az elsővel:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Könnyen bebizonyíthatjuk, hogy a számláló mindig pozitív, és a nevező negetive az intervallumban #x a (-oo, 0) U (1, oo) #.

Tehát ez az első egyenlőtlenségünk megoldása.

Lássuk a másodikt:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Ez az egyenlőtlenség megoldja az intervallumot:

#x (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Így sorozataink egymáshoz közelednek, ahol ez időközönként igaz.

Így konvergenciaintervallumunk:

#x (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #