Mi az y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 egyenlet általános megoldása?

# "Jellemző egyenlet:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "VAGY" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "lemez a négyzet egyenértéke = 1 - 16 = -15 <0" #

# "így két összetett megoldásunk van, ezek" #

#z = (1 óra sqrt (15) i) / 2 #

# "Tehát a homogén egyenlet általános megoldása:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "A teljes egyenlet megoldása" #.

# "y = x," #

# "Ez könnyen látható."

# "Tehát a teljes megoldás:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Válasz:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Magyarázat:

Nekünk van:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Vagy:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Ez egy harmadik lineáris, nem homogén differenciálegyenlet megrendelése állandó együtthatókkal. A standard megközelítés a megoldás megtalálása, # # Y_c homogén egyenlet, a segédegyenletre nézve, amely a polinom egyenlet a származékok koefficiensével, majd egy független, egyedi megoldás megtalálása, # # Y_p a nem homogén egyenlet.

A segédegyenlet gyökerei meghatározzák az oldat azon részeit, amelyek lineárisan függetlenek, így a megoldások szuperpozíciója a teljes általános megoldást képezi.

• Valódi különböző gyökerek # m = alfa, béta, … # a forma lineárisan független megoldásait eredményezi # Y_1 = Ae ^ (alphax) #, # Y_2 = Be ^ (betax) #, …
• Valódi ismétlődő gyökerek # M = alfa #, az űrlap megoldását eredményezi # Y = (Ax + B) e ^ (alphax) # ahol a polinom ugyanolyan mértékű, mint az ismétlés.
• Komplex gyökerek (amelyek konjugált párokként kell történniük) # M = p + -Qi # egy pár lineárisan független megoldást fog adni az űrlapról # Y = e ^ (px) (Acos (QX) + Bsin (QX)) #

Különleges megoldás

Annak érdekében, hogy a nem homogén egyenlet egy konkrét megoldását találja:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) t val vel #f (x) = 4 # ….. C

akkor mint #f (X) # a fokozat polinomja #0#, ugyanolyan fokú polinom megoldást keresünk, azaz az űrlapot #y = a #

Az ilyen megoldás azonban már létezik a CF-oldatban, és ezért figyelembe kell vennie az űrlap lehetséges megoldását # Y = ax #, Ahol az állandók # A # közvetlen helyettesítéssel és összehasonlítással kell meghatározni:

differenciálás # Y = ax # wRT #x# kapunk:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Ezeknek az eredményeknek a DE A -ra történő helyettesítése:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

És így alkotjuk a Különleges megoldást:

# y_p = x #

Általános megoldás

Ezután az A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Vegye figyelembe ezt a megoldást #3# az integráció konstansjai és. t #3# lineárisan független megoldások, így az egzisztencia és az egyediség elmélete alapján szuperpozíciójuk az általános megoldás