Mi az x ^ n származéka?

A funkcióhoz #f (x) = x ^ n #, n kell nem egyenlő 0, az egyértelművé váló okok miatt. n értéke egész szám vagy racionális szám (azaz egy frakció).

A szabály:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Más szavakkal: „kölcsönvesszük” az x erejét, és a derivatív együtthatójává tesszük, majd kivonjuk 1-et a hatalomból.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Amint említettem, a különleges eset az, ahol n = 0. Ez azt jelenti

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Használhatjuk a szabályt és technikailag kapja meg a helyes választ:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

Azonban később, a pályán, bajba kerülünk, amikor megpróbáljuk használni ezt a szabályt.

Válasz:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Az alábbiakban az összes számra vonatkozó igazolások szerepelnek, de csak az egész számok bizonyítéka használja a származékok meghatározásának alapvető készségét. Minden racionális bizonyíték a láncszabályt használja, és az irracionálisok esetében implicit differenciálást használnak.

Magyarázat:

Ezzel együtt mindent itt fogok bemutatni, így megértheted a folyamatot. Vigyázz, hogy ez #akarat# legyen elég hosszú.

Tól től #y = x ^ (n) #, ha #n = 0 # nekünk van #y = 1 # és egy konstans származéka alsways nulla.

Ha # N # bármely más pozitív egész szám, amit a származékos képletbe dobhatunk, és a binomiális tételt használjuk a rendetlenség megoldására.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n / h #

Hol # # K_i a megfelelő állandó

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i / h #

Osztjuk ezt # H #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Az összegből ki tudjuk venni az első kifejezést

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

A határértéket figyelembe véve minden más, ami még mindig az összegben van, nulla. Számító # # K_1 látjuk, hogy egyenlő # N #, így

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

mert # N # negatív egész számok, ez egy kicsit bonyolultabb. Tudván, hogy # x ^ -n = 1 / x ^ b #, oly módon, hogy #b = -n # és ezért pozitív.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Vegyük ki az első kifejezést

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Vegyük a korlátot, Hol # K_1 = b #, hogy visszahelyezzük # N #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

A racionalizáláshoz a láncszabályt kell használni. Azaz.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Szóval, tudva # x ^ (1 / n) = gyökér (n) (x) # és feltételezve #n = 1 / b # nekünk van

# (x ^ n) ^ b = x #

Ha # B # egyenletes, a válasz technikailag # | X | # de ez elég közel van a célunkhoz

Tehát, a láncszabályt használjuk

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

Végül, de nem utolsósorban, implicit differenciálódás segítségével igazolni tudunk minden valós számra, beleértve az irracionálisakat is.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #