Ismert, hogy a bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 egyenletnek egy igazi gyökere van. Bizonyítsuk be, hogy az x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 egyenletnek nincs igazi gyökere.

Válasz:

Lásd lentebb.

Magyarázat:

A gyökerek # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # vannak

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

A gyökerek egybeesnek és igazak lesznek, ha

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

vagy

# A = b # vagy #a = 5b #

Most megoldani

# X ^ 2 + (AB) x + (AB-b ^ 2 + 1) = 0 # nekünk van

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

A komplex gyökerek feltétele

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

most készül #a = b # vagy #a = 5b # nekünk van

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Befejezés, ha # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # akkor egybeesik valódi gyökerei # X ^ 2 + (AB) x + (AB-b ^ 2 + 1) = 0 # komplex gyökerei lesznek.

Adjuk, hogy az egyenlet:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

van egy valódi gyökere, ezért ennek az egyenletnek a megkülönböztetője nulla:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, vagy # a = 5b #

Meg akarjuk mutatni az egyenletet:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

nincs igazi gyökere. Ez negatív diszkriminánsra lenne szükség. Az egyenlet megkülönböztetője:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Most vizsgáljuk meg az első egyenletet kielégítő két esetet:

1. eset: # A = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# # 0

2. eset: # A = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# # 0

Ennélfogva az első egyenlet feltételei olyanok, hogy a második egyenletnek mindig negatív diszkrimináns van, és ezért komplex gyökerei vannak (azaz nincs igazi gyökere), QED